Coeficiente de un conjunto totalmente ordenado

Question

Demostrar o refutar la siguiente declaración:

Si $X$ es un conjunto totalmente ordenado con la propiedad de que para cada dos elementos $x$ $y$ $X$ tal que $x<y$, existe otro elemento $z$ tal que $x<z<y$, $X$ es incontable.

¿Qué acerca de la inversa de la declaración?

Intuitivamente, parece que la afirmación es verdadera, pero no tengo idea de cómo demostrarlo. Esto es algo de lo que yo pensaba de la hora de pensar en cómo los números Reales fueron incontables. Gracias.

Answer 1

La declaración es falsa: los racionales tienen esta propiedad.

Y hay pedidos lineales incontables sin esto: solo$\omega_1$ como ordinal. O más simple:$[0,1] \cup [2,3]$ en el orden heredado de los reales. Hay una brecha entre$1$ y$2$.

Answer 2

Vamos a tratar cada variante de su declaración. Definir los predicados

• U(S) significa que S es incontable,
• A la(S) significa que S es totalmente ordenado,
• D(S) significa que entre cualquier x
• para un predicado P, el predicado -P, es la negación de ese predicado.

Buscamos ejemplos. Para cada ejemplo encontramos, no uno o dos de los predicados que aparecen pueden implicar la negación de la tercera (ya que implicaría la inexistencia del ejemplo).

• U(S), A(S), D(S): Se observa que la $\Bbb{R}$ es un ejemplo.
• U(S), (S)- D(S): Henno Brendsma observa que el $[0,1] \cup [2,3]$ es un ejemplo con $x = 1, y = 2$. (De hecho, cortando cualquier intervalo abierto de una U+A grupo de trabajo.)
• U(S), -A(S), D(S): $\Bbb{R} \times \{a,b\}$, parcialmente ordenado por "$(s,t) < (u,v) \iff s < u$" no es totalmente ordenado. $(x,a)$ $(x,b)$ son incomparables para todos los $x \in \Bbb{R}$.
• U(S),- (S)- D(S): $\left( [0,1] \cup [2,3] \right) \times \{a,b\}$ según lo ordenado por encima de las obras.
• -U(S), A(S), D(S): Henno Brandsma observa que el $\Bbb{Q}$ es un ejemplo.
• -U(S), (S)- D(S): $\Bbb{Q} \cap \left( [0,1] \cup [2,3] \right)$ es un ejemplo.
• -U(S), -A(S), D(S): $\Bbb{Q} \times \{a,b\}$, ordenados como en el anterior, es un ejemplo.
• -U(S),- (S)- D(S): $\left( \Bbb{Q} \cap \left( [0,1] \cup [2,3] \right) \right) \times \{a,b\}$, ordenados como en el anterior, es un ejemplo.

Conclusión: No existe una variedad de conversar o contrapositivo de la declaración es una afirmación válida acerca de un universo que contiene la $\Bbb{Q}$$\Bbb{R}$. (... y "0, 1, 2, 3", supongo. Pero sería un extraño universo donde no sabíamos que $\Bbb{Q}$ y/o $\Bbb{R}$ contenía todos los cuatro de estos elementos.)