puede un número de la forma $x^2 + 1 $ ser un número cuadrado?

Question

He estado tratando de demostrar que $x^2 + 1 $ no es un cuadrado perfecto (aparte de $0^2 +1^2=1^2$). Estoy atascado y no se puede mover hacia adelante.

La cosa que he probado es el de relacionar el problema a una hipérbola y encontrar un entero solución tanto para $x$ $y$ al $a=b=1$. La pell de la ecuación apareció en mi búsqueda, pero no la entiendo completamente.

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^{Nota: yo estaba en un estado de confusión y @CoolHandLouis visual de respuesta debitado de mi confusa mente, así que he seleccionado de la respuesta. De esa manera, su respuesta fue muy útil para mí. @Alessandro prueba de ello es claro para mí ahora, y si yo podía aceptar dos respuestas, yo habría aceptado. Gracias a todos por ayudar!}

Answer 1

$(n+1)^2-n^2=2n+1$, es decir, la diferencia de cuadrados consecutivos es el $n$-ésimo número impar.

Desde el 1 es el primer número impar es la diferencia de la segunda y la primera plaza: $0^2+1=1^2$

Answer 2

Si $x>1$, $x^2+1$ no puede ser un cuadrado perfecto porque $x^2<x^2+1<(x+1)^2$.

En otras palabras, $x^2+1$ se encuentra entre los dos cuadrados perfectos consecutivos $x^2$$(x+1)^2$.

Answer 3

Si $x,y$ son enteros con $x^2+1=y^2$,$1=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$. El único entero factorizations de $1$$1=1\cdot 1=(-1)\cdot (-1)$, por lo tanto $x=0$$y=\pm1$.

Answer 4

Queremos demostrar a $x^2 + 1$ nunca puede ser un cuadrado perfecto.

Vamos

• $f(x) = x^2$

  A continuación,

  $f(x)$ $<$ $f(x) + 1$ $<$ $f(x+1)$

  $x^2$ $<$ $x^2 + 1$ $<$ $x^2 + 2x + 1$ (para todos los $x > 0$).

Por lo tanto, $x^2 + 1$ no puede ser un cuadrado perfecto (con la excepción de $x = 0$) porque siempre será mayor que el anterior cuadrado perfecto y menos de la siguiente cuadrado perfecto.

La siguiente tabla ilustra esto. Tenga en cuenta que $f(x)$ es el conjunto de todos los cuadrados perfectos:

x f(x)=x^2 x^2+1 f(x+1) 
0 0 1 1 
1 1 2 4 
2 4 5 9 
3 9 10 16 
4 16 17 25 

Answer 5

Dado un entero $n$, $n^2 = n \times n$. Eso es muy obvio.

Pero lo $n^2 - (n - 1)^2$? Como resulta, es $2n - 1$ (hágamelo saber si usted me quiere explicar que).

Entonces estamos buscando soluciones a $n^2 = x^2 + 1$ donde $x$ es también un número entero. Dado que tanto $n$ $x$ son enteros, $n^2$ $x^2$ deben ser consecutivos cuadrados perfectos. Esto lleva a $$n^2 - x^2 = 2n - 1 = 1.$$ The only possible solution with $n$ positive is $n = 1$, so that $2n = 2$ and $2 - 1 = 1$.

Lo que si permitimos que los enteros negativos? Hay otra solución: $n = 0$, $x = -1$.

También hay algo que se llama los números imaginarios. Podría ser una solución entre ellos, pero yo apenas entender ese concepto, así que ni siquiera sería capaz de comenzar a buscar una solución entre aquellos.