El grupo$F^\times$ tiene como máximo$t$ elementos de orden$t$ si$F$ es un campo.

Question

Permita que$F$ sea un campo, y considere el grupo$G=F^\times$ con la multiplicación ($F^\times=F-\{0\}$). Cómo mostrar que para cualquier$t\in\mathbb{Z}_{>0}$,$G$ tiene como máximo$t$ elementos de orden$t$?

Answer 1

Permita que$a \in F^{\times}$ sea un elemento de orden$t$. Entonces $a^t=1$. Pero el polinomio$x^t-1$ tiene como máximo$t$ de raíces sobre$F$.

Answer 2

Así que aquí $F$ es un campo finito. Sabemos que el grupo de unidades en un campo finito es cíclico y por lo tanto si $|F|=q=p^n$ luego el grupo de unidades es un grupo cíclico de orden $q-1$.

También tenga en cuenta que por inducción podemos mostrar que sobre cualquier campo un polinomio de grado $d$ tiene a lo sumo $d$ raíces.

Usando estos dos, debería intentar responder a tu pregunta.