¿El determinante de una matriz puede ser posible $0$?

Question

Una entrada de una $n \times n$ matriz con determinante distinto de cero se define como interesante si cambiando esta entrada (y sólo esta entrada) se puede hacer el determinante de la matriz de $0$.

1. ¿Es cierto que cada entrada de cada matriz con determinante distinto de cero es interesante?
2. ¿Es cierto que existe una interesante entrada en cada fila de una matriz con determinante distinto de cero?

Answer 1

Su pregunta 1: consideremos una entrada $a$ de una matriz de $M$; si su cofactor (o menor) es distinto de cero, es automáticamente "interesante" porque el determinante de a $M$ es un primer grado del polinomio $ua+v$ en esta entrada con $u \neq 0$. Basta entonces para tomar el valor de $a=-v/u.$

Un ejemplo entre miles:

$$\det\pmatrix{5&-3&-2\\8&-5&-4\\a & 3&3}=9+2a \ \ \text{with cofactor} 12-10=2.$$

Por lo tanto, en un lugar inmensa mayoría de los casos, cualquier entrada es "interesante".

Su pregunta 2: Sí necesariamente, porque si todos los cofactores de una determinada fila son cero, el factor determinante en sí mismo es igual a cero ; la contradicción.

Answer 2

Un par de consejos.

1), considere la matriz $$\begin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 1\ \end{bmatrix} $$ en particular dos ceros.

Para 2), considerar la expansión del determinante con respecto a una fila.

Answer 3

En un intento de mostrar que $a{i,j}$ es interesante, tenga en cuenta que los vectores de columna de $n$ % tamaño $n-1$obtienen por caer fila $i$ son linealmente dependientes. Este puede significar que el $j$ (recortada) ésima columna es una combinación lineal de las otras columnas (recortadas). En ese caso, puede cambiar $a{i,j}$ para que coincida con el valor que debe tener para el "misma" combinación lineal de los vectores de la columna completa. Ahora contempla, ¿cómo puede este error?

Answer 4

Deje $M$ $n \times n$ matriz.

Utilizando la fórmula de Laplace y ampliando a lo largo de la $j^{th}$ columna $|M| = \displaystyle \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}m_{i,j}M_{i,j}$ donde $M_{ij}$ es el determinante de la submatriz de M que resulta de la eliminación de la $i^{th}$ fila y el $j^{th}$ columna.

Deje $M[i,j;x]$ ser el determinante se obtiene de la matriz $M$ $ij^{th}$ miembro reemplazado con $x$. A continuación, $M[i,j;x] = ax - b$ donde$a = (-1)^{i+j}M_{ij}$$b = a m_{i,j} - |M|$.

Supongamos $a \ne 0$,$M[i,j;\frac ba] = 0$.

Supongamos $a=0$. Si $b=0$,$|M| = 0$. Así que, por hipótesis, $b \ne 0$. A continuación, $M[i,j;x] = b \ne 0$ todos los $x$.

Así que una matriz en la interesante si y sólo si todos sus menores de edad no son cero.