Raíces cuadradas y cúbicas en $\mathbb Q(\sqrt n)$

Question

Aquí está mi pregunta :

Deje $n$ un squarefree entero positivo, $m \ge 2$ un entero y $a+b \sqrt n \in\mathbb Q (\sqrt n).$ Lo (suficiente o necesaria) las condiciones de la $a$ $b$ satisfacer de modo que $a+b \sqrt n$ $m$- ésima raíz en $\mathbb Q (\sqrt n)$?

Aquí va mi intento : He probado el caso de $m=2$. Si $\sqrt{a+b \sqrt n} = c+d\sqrt n$ $c,d \in \mathbb Q$ $$ a=c^2+d^2n, b=2cd. $$ Assuming $b \neq 0$, I get $c^2 + n\left(\frac{b}{c 2}\right)^2 = a$, and for instance $c = \pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-nb^2}}{2}}$, so it is necessary to have $\frac{a+\sqrt{a^2-nb^2}}{2}$ is a square in $\mathbb P$ (and then $d$ es también racional).

Podemos encontrar mejores condiciones que este. Pero no sé cómo manejar los casos de $m \ge 3$, debido a que los cálculos se hacen difíciles. ¿Hay algún enfoque teórico (por ejemplo, la teoría de Galois) para tratar este problema ?

Gracias !

Answer 1

La forma de comentario de Quiaochu Yuan es técnico y difícil. De manera elemental tiene dos % racional arbitrario $r,s$formulario los valores dados $a+b\sqrt n=(r+s\sqrt n)^m=A+B\sqrt n$ donde $$B=\binom m 1r^{m-1}s+\binom m3r^{m-3}s^3n+\binom m5r^{m-5}s^5n^2+...... $$ and $$A=\text{the other terms}$$ This way you have for each couple of $r,s$ an $A+B\sqrt $ n satisfacer la pregunta.

Manera técnica, tendrás siempre esta condición implícita para algún par de racionales: cada % adecuado $a+b\sqrt n$hay dos % racional $r,s$cumplimiento de la condición primaria aquí.