¿Dado un vector x, podemos decir algo sobre un tal que A x = x?

Question

Vamos a suponer que se da un % de vector $x \in \mathbb{R}^n$y estamos en busca de un % de la matriz $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$que produce $A x = x$. Es decir, realizamos una especie de cuestionamiento inverso: en lugar de tener un determinado $A$ y un desconocido $x$, se conoce el vector $x$ $A$ no.

¿Hay alguna teoría que habla de tal tipo de ecuaciones? Perdón si me estoy perdiendo algo completamente trivial, pero que sería genial si alguien podria darme un toque.

Mis mejores deseos, Andreas

Answer 1

Cada $A$ $x$ que ya que es vector propio correspondiente a un valor propio = 1 es su respuesta.

Answer 2

Otra forma es que se intenta resolver Ax = x que tiene $n^2$de % variable desconocida con la ecuación n entonces puede dar valor arbitrario a $n^2-n$ extra variable luego resuelves el sistema