Estoy considerando un problema siguiente: ¿ $$\\a_{2k}, a_{2k+1}, a_{3k} \rightarrow g $$ implica que $$a_{n} \rightarrow g ?$$ Sé que si cada larga va a$g$, también una secuencia que va de la a $g$. Mi forma de razonamiento es el siguiente: sabemos que los pares y los impares $k$ subsecuencias va a $g$. Pero si la sustituimos por ejemplo,$k=t^{2} -5$, entonces no hay problema (al menos para mí). Si puedo razonar de esa manera, ¿qué debo hacer para demostrar de manera más formal que la afirmación es falsa? Y si no puedo, ¿qué está pasando con $a_{n}$? Gracias por las sugerencias!
Respuestas
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Si los pares de términos y numeración impar términos ambos convergen al mismo límite de $L$, entonces el límite de la secuencia existe y es $L$.
Para probar esto, deje $\epsilon > 0$ ser arbitraria. Queremos encontrar a $N \in \mathbb{N}$ tal que $n > N$ implica $|a_n - L| < \epsilon$.
Desde el numeradas términos están todos dentro de epsilon de $L$ después de algunos $N_1 = 2j$ y el impar términos están todos dentro de epsilon de $L$ después de algunos $N_2 = 2k + 1$, solo escoge $N = \max\{N_1, N_2\}$.
DonAntonio
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104482
Puede que desee probar el próximo agradable lema:
Lema: Si $\,\{A_i\}_{i\in I},$ es de alguna partición de $\,\Bbb N\,$ s.t. $\,|A_i|=\aleph_0=|\Bbb N|\,\,\,,\,\forall\,\,i\in I\,$ , y todos los conjuntos de $\,A_i\,$ están bien ordenados, entonces para una verdadera secuencia $\,\{x_n\}\,$ es cierto que
$$x_n\xrightarrow [n\to\infty]{} x\Longleftrightarrow (\,\forall\,\,i\in I\,\,,x_{n_i}\xrightarrow [n_i\to\infty\,,\,n_i\in A_i]{} x)$$
Por lo tanto, como B. escribió en su respuesta, es bastante y suficiente que la larga de extraño que los índices y la de los índices convergen tanto para el mismo límite.
user30357
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En las otras respuestas que hemos visto que $a_{2k},a_{2k+1}\to g$ ya $a_n\to g$. Usted incluso no necesita $a_{3k}$. Me gustaría añadir que, si sólo requieren $a_{2k},a_{2k+1}$ $a_{3k}$ a converger (a priori con diferentes límites), entonces usted tiene que todos los tres límites que coinciden y que $a_n$ tiene el mismo límite.
Para ver esta nota que $a_{2n}$ $a_{3n}$ $a_{2n+1}$ $a_{3n}$ tienen un común subsequence. Sólo es necesario que si una convergencia de la secuencia tiene una larga con límite de $g$, a continuación, toda la secuencia tiene límite de $g$.
