Estoy teniendo problemas para entender Rudin la prueba de este teorema, y creo haber identificado la parte específica de la prueba de que yo soy incapaz de seguir. Para empezar, aquí está la prueba de copia de Bebé Rudin:
Deje $P$ ser un vacío perfecto en $\mathbb{R}^k$. A continuación, $P$ es incontable.
Prueba. Desde $P$ tiene límite de puntos, $P$ debe ser infinito. Supongamos $P$ es contable y denotan los puntos de $P$$x_1, x_2, x_3, \dots$. Vamos a construir una secuencia $\{V_n\}$ de los barrios de la siguiente manera.
Deje $V_1$ ser cualquier barrio de $x_1$. Si $V_1$ se compone de todos los $y \in \mathbb{R}^k$ tal que $|y - x_1| < r$ el cierre de la $\overline{V_1}$ $V_1$ es el conjunto de todos los $y \in \mathbb{R}^k$ tal que $|y - x_1| \leq r$.
Supongamos $V_n$ ha sido construida de modo que $V_n \cap P \neq \emptyset$. Desde cada punto de $P$ es un punto límite de $P$, hay un barrio $V_{n+1}$ tales que (i) $\overline{V_{n+1}} \subset V_n$, (ii) $x_n \notin \overline{V_{n+1}}$, (iii) $V_{n+1} \cap P \neq \emptyset$. Por (iii) $V_{n+1}$ cumple nuestra hipótesis de inducción y la construcción de proceder.
Poner $K_n = \overline{V_n} \cap P$. Desde $\overline{V_n}$ es cerrado y acotado, $\overline{V_n}$ es compacto. Desde $x \notin K_{n+1}$ ningún punto de $P$ se encuentra en $\cap_1^\infty K_n$. Desde $K_n \subset P$ esto implica $\cap_1^\infty$ está vacía. Pero cada una de las $K_n$ es no vacío por (iii) y $K_n \supset K_{n+1}$ por (i), esto contradice el corolario al teorema 2.36.
Bueno por lo que mi confusión se encuentra con este párrafo de la prueba:
Supongamos $V_n$ ha sido construida de modo que $V_n \cap P \neq \emptyset$. Desde cada punto de $P$ es un punto límite de $P$, hay un barrio $V_{n+1}$ tales que (i) $\overline{V_{n+1}} \subset V_n$, (ii) $x_n \notin \overline{V_{n+1}}$, (iii) $V_{n+1} \cap P \neq \emptyset$. Por (iii) $V_{n+1}$ cumple nuestra hipótesis de inducción y la construcción de proceder.
Mi confusión es la siguiente:
En la definición de las $V_1$, está claro que $V_1$ es un barrio de el punto de $x_1$. Es $V_{n+1}$ un barrio de el punto de $x_{n+1}$? Por ejemplo, es $V_2$ un barrio de el punto de $x_2$? No creo que este puede ser el caso porque no hay ninguna garantía de que no es un barrio de $x_2$ es un subconjunto de cualquier barrio de $x_1$. Después de todo si $x_1 \neq x_2$ y podemos elegir cualquier barrio de $x_1$ en la definición de las $V_1$, es ciertamente posible,$x_2 \notin V_1$. Así que si $V_{n+1}$ no es un barrio de $x_{n+1}$, ¿en qué punto se $V_{n+1}$ un barrio?
