Número de generadores de los ideales de un PID.

Question

Fijemos un campo $K$, y consideremos el director ideal anillo de $K[x]$. Si I es un ideal, ya que el $K[x]$ es un PID, podemos escribir $I = (p(x))$ para algunos polinomio $p(x)$. Ahora, digamos que es un conjunto de generadores $S= \{x_1, \ldots , x_n\}$ I es irredundante si ningún subconjunto de S de cardinalidad menor que n genera I.

Podemos construir, para cada $n \geq 1$, y la de no-cero ideal de un irredundante conjunto de generadores de cardinalidad $n$? Por ejemplo, para $n= 2$, el ideal de $(x)$ tiene un irredundante conjunto de generadores $\{x+x^2,x^2\}$. He tratado de hacer algunos de inducción, pero no tanto, y tampoco lo hizo explícitamente tratando de construir un irredundante conjunto de un arbitrario no nulo ideal. Así que, ¿alguien a ver cómo lo hacen, y si es así, alguna pista?

Answer 1

En general, un conjunto de elementos genera $\left<r\right>$ en un PID si, por definición, su MCD es $r$.

Deje $r(x)\in K[x]$. Deje $p_1(x),p_2(x),\dots,p_n(x)$ $n$ distintos primer monic polinomios. Deje $$a_i(x)=r(x)\frac{p_1(x)\dots p_n(x)}{p_i(x)}$$

Entonces el mcd de a$\{a_i(x)\}$$r(x)$, pero el MCD de cualquier subconjunto no lo es.