Un ejercicio sobre series de convergencia de funciones$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^x}{n^2 \ln n}$.

Question

Me pide para mostrar los distintos tipos de convergencia de esta serie:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^x}{n^2 \ln n}$$ where $x \in R$.

Noto que para $x \ge 1$ la serie diverge porque $ \frac{n}{n^2 \ln n}

¿Nadie importa ayudarme con $x

Answer 1

Si $x<1$,,$n \to \infty$, $$ \frac{(n+1)^x}{n^2 \ln n}=\frac{n^x(1+1/n)^x}{n^2 \ln n} \sim \frac{1}{n^{2-x} \ln n} $$

a continuación, aplicando por ejemplo la prueba de condensación de Cauchy para la última serie a la conclusión de que su inicial de la serie es convergente.

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Edit. Se puede observar que la

• si $0\leq x<1$,$n \to \infty$, $ $ \frac{1}{n^{2-x} \ln n} \leq \frac{(n+1)^x}{n^2 \ln n}=\frac{n^x(1+1/n)^x}{n^2 \ln n} \leq \frac{e^x}{n^{2-x} \ln n} $$
• si $x<0$, entonces como $n \to \infty$,$$ 0< \frac{(n+1)^x}{n^2 \ln n}=\frac{1}{n^2(n+1)^{|x|} \ln n} \leq \frac1{n^2 \ln n} $$

ambos casos el anunció de convergencia.

Answer 2

Iniciar la suma de $n=2$, porque $\ln 1=0$ (para ser precisos). Ahora, al punto de, de $x 1$ que converge.

Answer 3

Como esta es una de las series con términos positivos, puede utilizar equivalentes: $$\frac{(n+1)^x}{n^2\log n}\sim_\infty\frac{n^x}{n^2\log n}=\frac{1}{n^{2-x}\log n}. $$ Esta es una Bertrand de la serie, yo. e. de tipo $\dfrac1{n^a\log^bn}$ y se sabe que converge si y sólo $a>1$ o ($a=1$ et $b>1$) (el último caso está demostrado que con la integral de la prueba).

Por lo tanto, en el presente caso, la serie converge si y sólo si $2-x>1$, es decir,$x<1$.

Si usted no está permitido el uso de equivalencia, puede adaptar la idea detrás de la equivalencia de la siguiente manera: $$\frac{(n+1)^x}{n^2\log n}=\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^x\frac{1}{n^{2-x}\log n}<2^x\frac{1}{n^{2-x}\log n},$$ que es proporcional a la Bertrand de la serie &c.