Significado de, y cómo verificar, un espacio vectorial * sobre *$\mathbb{R}$

Question

En Axler, el libro de Álgebra Lineal escribe, ($\mathbb{F}$aquí $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$):

El producto escalar en un espacio vectorial depende de $\mathbb{F}$. Así, cuando debemos ser precisos, diremos que la $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$ en lugar de decir simplemente que $V$ es un espacio vectorial. Por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, e $\mathbb{C}^n$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$.

Lo que realmente se entiende por $\mathbb{R}^n$ siendo un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y ¿cómo se puede comprobar que es? ¿Cuáles son las implicaciones de esto? Es justo que cualquier multiplicación escalar en $\mathbb{R}^n$ depende de los números en $\mathbb{R}$?

Para mí, $\mathbb{R}^n$ se siente más grande que la de $\mathbb{R}$, por lo que se me de la redacción, que es uno más de los otros, difícil de digerir...

Answer 1

Cuando te dan los axiomas de un espacio vectorial $V$, usted tiene que hablar de un campo determinado: por ejemplo, en los axiomas que hablar de la multiplicación escalar, que le va a decir algo como "para cada $x \in \mathbb{F}$ y cada una de las $v \in V$ hay un elemento $xv$ de $V$....". En este caso decimos que "$V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$".

Así que tienes razón: $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$ significa que los escalares se pueden multiplicar por elementos de $\mathbb{F}$. Es sólo un uso convencional de la palabra.

La razón para mencionar es que a veces el campo que se está trabajando a través de no es obvia. Tome $\mathbb{C}^n$. Es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ en la forma más obvia, pero también es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ (si se puede utilizar elementos de $\mathbb{C}$ como escalares, entonces ciertamente puede utilizar $\mathbb{R}$$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$). Lo que más me ha dimensión $n$ $\mathbb{C}$ pero $2n$$\mathbb{R}$, por lo que realmente importa en qué campo se trabaja más.

Answer 2

De hecho, $\mathbb{C}^n$ $n$- dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, pero $\mathbb{C}^n$ $2n$- dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Cuando usted entienda por qué esto es así, entonces usted sabrá la respuesta a su pregunta.

Usted puede encontrar un conjunto de $\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}$ $n$ vectores tales que todos los vectores $v\in\mathbb{C}^n$ puede ser expresado como una combinación lineal $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n$ donde $c_1,\ldots,c_n$ son complejos los números.

Usted también puede encontrar un conjunto $\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{2n}\}$ $2n$ vectores tales que todos los vectores $v\in\mathbb{C}^n$ puede ser expresado como una combinación lineal $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_{2n}\mathbf{v}_{2n}$ donde $c_1,\ldots,c_{2n}$ son reales los números.

Por lo tanto, cualquier punto en $\mathbb{C}^n$ puede ser especificado por $n$ números complejos o por $2n$ números reales.

El conjunto $n$ vectores $(1,0,\ldots,0,0)$, $(0,1,0,\dots,0)$,$(0,0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)$ se puede servir en la primera función de arriba, donde los escalares por el que se multiplicará son complejos los números.

El $2n$ vectores $(1,0,\ldots,0,0)$, $(0,1,0,\dots,0)$,$(0,0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)$, $(i,0,\ldots,0,0)$, $(0,i,0,\dots,0)$,$(0,0,i,0,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,i)$ puede servir en la segunda función de arriba, donde los escalares por el que se multiplicará son reales los números.