Encuentre $f$ tal que $ \int_0^1{(f(t))^ndt} = \int_0^1{(f(t))^{n+1}dt} = \int_0^1{(f(t))^{n+2}dt} = c$

Question

a) Que $n \in \mathbb{N}^*$ y $c \in \mathbb{R}_+$ . Encuentra todas las funciones continuas $f : [0,1] \to \mathbb{R}_+$ tal que $$ \int_0^1{(f(t))^ndt} = \int_0^1{(f(t))^{n+1}dt} = \int_0^1{(f(t))^{n+2}dt} = c .$$

b) Que $n \in \mathbb{N}^*$ y $c \in \mathbb{R}_+$ . Encuentra todas las funciones continuas $f : [0,1] \to \mathbb{R}_+$ tal que $$ \int_0^1{(f(t))^ndt} = \int_0^1{(f(t))^{n+1}dt} = c .$$

No consigo entender este problema. No quiero una respuesta completa, sólo una pista que me ayude.

Answer 1

a) Desde $f$ es positiva y continua, $$ \int_{0}^{1}f(x)^n\,dx \int_{0}^{1}f(x)^{n+2}\,dx \geq \left(\int_{0}^{1}f(x)^{n+1}\,dx\right)^2 $$ por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, y la igualdad se alcanza si $f(x)$ es constante.
En concreto, la única solución es $f(x)=1$ para $c=1$ .

b) No podemos tener $f(x)<1$ o $f(x)>1$ para cualquier $x\in[0,1]$ ya que, de lo contrario, la igualdad entre los $n$ -momento y el $(n+1)$ -en el momento en el que se violan los derechos de autor. Por lo tanto, dejemos que $A$ sea el subconjunto de $[0,1]$ sobre el cual $f(x)\leq 1$ y que $B$ el subconjunto de $[0,1]$ sobre el cual $f(x)\geq 1$ : ambos están dados por un conjunto cerrado no vacío y $\mu(A)+\mu(B)=1$ . Por otro lado, con el mismo argumento anterior la función $g:\mathbb{N}\to \mathbb{R}^+$ dado por $$ g(m)=\log\int_{0}^{1}f(x)^m\,dx $$ es convexo y $g(0)=0$ implica $c\leq 1$ . Podemos construir soluciones discontinuas dadas por $f(x)=a<1$ en $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ y $f(x)=b>1$ en $\left(\frac{1}{2},1\right]$ para una elección adecuada de $a$ y $b$ ?