Función continua de $[0, 1]$ $\mathbb{R}$

Question

<blockquote> <p>Que $f:[0, 1]\rightarrow \mathbb{R}$ un continuo función tales que $f (0) = f (1) = 0$ y definir</p> <p>$A=$ {$h\in[0, 1]|$ existe $x$ con $f(x+h)=f(x)$}</p> <p>$B=$ {$h\in[0, 1]|$ existe $x$ con $f(x+1-h)=f(x)$}</p> <p>Demostrar que $A\cup B=[0, 1]$.</p> </blockquote> <p>Probé usando el hecho de que $f$ es continua pero ya $f$ tiene valores en $\mathbb{R}$ es un poco más complicado. Supuse que existe un $h\in[0, 1]$ sucht que ninguna de las relaciones era cierto pero no logró mostrar algo.</p>

Answer 1

Es fácil ver que $0,1\in A\cap B$. Que $h\in (0,1)$ y tener en cuenta el $$ de la función continua g (x): =\begin{cases} f(x)&\text{if %#%#%,}\ f(x-1)&\text{if %#%#%.} \end{casos} $$ entonces, desde $x\in [0,1]$$x\in [1,2]$x\in [0,1) $$\int_0^1 (g(x + h) - g(x)) dx=\int_h^{1+h} g(x)dx - \int_0^1g(x) dx=0,$g(x+h)-g (x) = 0$.

Ahora, si $ it follows that there exists $ y $ such that $ y $x+h\leq 1$.

Por otro lado, si $f(x+h)=f(x)$ y $h\in A$ $x+h>1$ y $f(y)=f(y+1-h)$.

Por lo tanto podemos concluir que el $y:=x+h-1\in(0,1)$.