Serie de Taylor para $(1+x)\mathrm{e}^{(x^2-x)}$

Question

Tengo que encontrar la serie de Taylor alrededor de $0$ $f(x)=(1+x)\mathrm{e}^{(x^2-x)}$. Encontré la siguiente representación de la serie $$\sum{n=0}^\infty \frac{(1+x)(x^2-x)^n}{n!}$ $ pero sé series de Taylor deben como $\sum{n=0}^\infty c_n x^n$ y no sé cómo manejar esa expresión desagradable con $x$ y que se vea como una adecuada secuencia de Taylor. ¿Cualquier sugerencias de cómo debe proceder?

Answer 1

Nota $$e^{x^2}=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac {x^{2i}}{i!} $ $

$$e^{-x}=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac {(-x)^j}{j!} $$

$$e^{x^2-x}=\sum{n=0}^{+\infty}(\sum{i=0}^n\frac {(-1)^{2n-i}}{i!(2n-i)!})x^n $$

Answer 2

La serie de Taylor comienza como $ 1 + \frac12x^2 + \frac13x^3-\frac18x^4+\frac 11:30 x ^ 5-\frac {31} {144} x ^ 6 + \frac {169} {840} x ^ 7-\frac {641} {5760} x ^ 8 $$ o si lo prefieres $$ 1\frac {x ^ 0} {0}! +0\frac {x ^ 1} {1}. +1\frac {x ^ 2} {2}. +2\frac {x ^ 3} {3}. -3\frac {x ^ 4} {4}. +44\frac {x ^ 5} {5.} -155\frac {x ^ 6} {6}. +1014\frac {x ^ 7} {7}. -4487\frac {x ^ 8} {8}! $$ estos valores no me inspiran ninguna forma agradable particular para el término general.