¿Por qué es Hodge más difícil de lo que Tate?

Question

Existen fuertes conexiones entre la Hodge y la Tate conjeturas, principalmente en el nivel de semejanzas y analogías. A la cita de una respuesta de Mateo Emerton en MathOverflow:

"[...] también tenemos una natural abelian (de hecho Tannakian) categoría de juego: en el caso complejo, la categoría de puro estructuras de Hodge, y [cuando el campo de la definición de $K$ es finitely generado más de su primer subcampo], la categoría de $\ell$-ádico representaciones de $G_K$ (el absoluto grupo de Galois de $K$) (para algunos prime $\ell$, prime a la característica de $K$ , en el caso de $K$ es un campo finito).

Ahora tomando cohomology da un functor de la categoría de suave variedades proyectivas a esta última categoría (a través de la teoría de Hodge en el caso complejo, y la teoría de la étale cohomology en los otros casos). La conjetura de Hodge (en el caso complejo) y la Tate conjetura (en los otros casos), a continuación, dice que este functor es totalmente fiel.

Por otra parte, es conocido que la conjetura de Hodge para CM abelian variedades de más de $\mathbb{C}$ implica que el Tate conjetura sobre campos finitos (esto fue demostrado por J. Milne), y que la Tate conjetura de abelian variedades más finitely generan campos implica la conjetura de Hodge $\mathbb{C}$ (esto fue demostrado por P. Deligne I. Piatetski-Shapiro - ver anon de la respuesta) (ver este taller de resumen). Sin embargo, recuerdo que, durante un seminario en mi universidad, alguien dijo que la conjetura de Hodge se espera que sea más difícil de resolver que la Tate conjetura. También, la conjetura de Hodge (H), a diferencia de la Tate conjetura (T), es parte de la declaración del Milenio problemas, lo que podría sugerir que H es más difícil profundas que T. Mi pregunta es, pues, la siguiente: ¿hay alguna razón por la que H debe ser más difícil de lo que T?

Answer 1

Aquí es un argumento que Tate es más difícil que Hodge:

• Sabemos que la conjetura de Hodge en el codimension un caso (este es el Lefschetz $(1,1)$ Teorema). Por otro lado, la Tate conjetura permanece abierta incluso en codimension uno, excepto en algunos casos muy especiales. También, los casos que a menudo han sido demostrado por la reducción de la conjetura de Hodge.

Aquí es un argumento que Hodge es más difícil que Tate:

• La Tate conjetura (más finito campos o campos de número) implica contextos (motivos más finito campos o campos de número) que uno podría esperar para encajar en el contexto del programa de Langlands, y en particular de Shimura variedades (donde uno puede al menos imaginar que describe el Galois-invariante cohomology clases, y la relación real de ciclos). Por otro lado, la conjetura de Hodge es acerca de todas las variedades de más de $\mathbb C$, y la mayoría de estos no encajan en la estructura altamente contexto del programa de Langlands.

El hecho de que ambos argumentos parecen razonables muestra (en mi opinión) que la pregunta no tiene una buena respuesta. De hecho, con el estado actual de nuestros conocimientos, siendo lo que es (bastante pobre, ya sea para la conjetura), es difícil para comparar los dos --- ambos parecen como de los problemas duros! Ellos también parecen estar estrechamente unida (y no sólo al nivel de las analogías).

Una cosa que el segundo punto se sugiere es que podría ser importante para reducir la conjetura de Hodge en el caso de general complejo de variedades el caso de las variedades más número de campos (o, de manera equivalente, las variedades más $\overline{\mathbb Q}$). (La primera vez que supe de esta propuesta de Langlands.) Que es probablemente también un problema muy difícil, pero más accesible que la conjetura de Hodge en sí.

Answer 2

No es --- la Tate conjetura es más difícil que la conjetura de Hodge. Por ejemplo, la Tate conjetura implica que todos absolutamente Hodge clases son algebraicas. Por lo tanto, en la presencia de Deligne la conjetura de que todos los Hodge clases son absolutamente Hodge (que es conocido por abelian variedades), la Tate conjetura implica la conjetura de Hodge. No hay ninguna declaración similar en la que va para otro lado. Otra razón por la que Tate le da es que la Tate conjetura no dice que cohomology clases son algebraicas --- sólo le da su $Q_l$ de intervalo. Por cierto, fue Piatesky-Shapiro, quien demostró por primera vez que la Tate conjetura de abelian variedades implica la conjetura de Hodge para abelian variedades, no Deligne. Añadido: Ver Pjateckiĭ-Šapiro, I. I. de las Interrelaciones entre la Tate y Hodge hipótesis para abelian variedades. (Ruso) Mat. Sb. (N. S.) 85(127) (1971), 610--620.

En relación con la última parte de Matt E la respuesta: "Supongamos que la conjetura de Hodge es conocido por variedades de $X_\bar{Q}$ definido a lo largo del $\bar{Q}$ e (débilmente) absoluta Hodge clases en ellos. Entonces la conjetura de Hodge es cierto para (débilmente) absoluta Hodge clases". Voisin, Claire Hodge loci y absoluta Hodge clases. Compos. De matemáticas. 143 (2007), no. 4, 945--958.