Cálculo del grupo de Galois de $x^4+ax^2+b \in \mathbb{Q}[x] $

Question

Quiero calcular el grupo de Galois de algunos polinomios, pero primero quiero ver algunos ejemplos. Por ejemplo esta proposición podría ser útil. No sé cómo demostrarlo <.<

Consideremos un polinomio $f(x)= x^4+ax^2+b \in \mathbb{Z} $ . Dejemos que $ \pm\alpha , \pm\beta$ denotan las raíces de $f(x)$ . Tenga en cuenta que $f$ es irreducible si $\alpha^2, \alpha\pm\beta \notin \mathbb{Q}$ . Así que supongamos que $f(x)$ es irreducible. Denotemos $G$ el grupo galois de $f$ (el grupo de Galois del campo de división $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)/\mathbb{Q}$ )

$i)$ $G\cong V$ el grupo 4 de Klein si $\alpha\beta \in \mathbb{Q}$

$ii)$ $G\cong \mathbb{Z}_4$ si $\mathbb{Q}(\alpha\beta)=\mathbb{Q}(\alpha^2)$

$iii)$ $G\cong D_8$ el grupo diédrico de orden 8, si $\alpha\beta \notin \mathbb{Q}(\alpha^2)$

Necesito ayuda con las pruebas de estas proposiciones... Bueno estoy muy perdido con el cálculo del grupo de Galois, hay que tener cierto cuidado, no lo tengo. Por ejemplo sé que el grupo de Galois actúa transitivamente, en el sentido de que $u\in K/F$ una extensión de galois, las otras raíces del polinomio mínimo de $m_u(x)\in F[x]$ son precisamente los elementos $ \sigma(u)$ , donde $\sigma \in Gal(K/F)$ . Y claramente cualquier automorfismo, está determinado sólo por el valor de una base. En este caso estamos trabajando en $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$ por lo que tengo que conocer los valores de ambos. Pero tengo que respetar las relaciones algebraicas que implican $\alpha , \beta$ He demostrado que en $i),ii)$ $\mathbb{Q}(\alpha,\beta) = \mathbb{Q}(\alpha) $ Así que tengo que conocer los valores de $\alpha$ .

Mi primera pregunta es: Si en ambos casos $i),ii)$ Tengo una extensión de grado 4 (así que $|G|=4$ ) Tengo que hacer un mapa $\alpha$ para determinar el automorfismo, pero también tengo que mapear $\alpha$ a todas sus cuatro raíces. ¿Por qué el grupo galois en este caso es diferente?

Mi segunda pregunta es sobre $iii)$ No tengo ni idea de cómo atacarlo.

Answer 1

Para i) y ii), sean los conjugados de $\alpha$ sea $\gamma$ , $\delta$ y $\epsilon$ . Consideremos el automorfismo que mapea $\alpha$ a $\gamma$ . Si se mapea $\gamma$ a $\delta$ (y entonces, como puede mostrar, $\delta$ a $\epsilon$ y $\epsilon$ a $\alpha$ ), entonces este automorfismo es de orden 4, y el grupo es el grupo cíclico de orden 4.

Pero podría ser que todo automorfismo sea su propio inverso; si mapea $\alpha$ a algún otro conjugado, digamos, a $\eta$ , entonces mapea $\eta$ a $\alpha$ y también intercambia los otros dos conjugados. Entonces el grupo es Klein-4.

En otras palabras, sólo saber dónde $\alpha$ va no te dice dónde van los otros conjugados, y hay dos posibilidades esencialmente diferentes, correspondientes a los dos grupos de orden 4.

Para empezar con iii), intenta encontrar un automorfismo $\sigma$ de orden 4, y un automorfismo $\tau\ne\sigma^2$ de orden 2, y tratar de demostrar que satisfacen la relación definitoria del grupo diédrico, $\tau\sigma=\sigma^3\tau$ .

EDIT: Quizá un ejemplo de ii) ayude a ver lo que ocurre en este caso. Tomemos el polinomio $x^4-4x^2+2$ . Los ceros son $\pm\alpha$ y $\pm\beta$ donde $$\alpha=\sqrt{4+2\sqrt2},\quad\beta=\sqrt{4-2\sqrt2}$$ Tenemos $$\alpha^2=4+2\sqrt2,\quad\alpha\beta=2\sqrt2$$ Dejemos que $\sigma(\alpha)=\beta$ . Entonces $\sigma(\alpha^2)=\beta^2$ , lo que implica $\sigma(\sqrt2)=-\sqrt2$ . Entonces $$\sigma(\beta)=\sigma(2\sqrt2/\alpha)=-2\sqrt2/\beta=-\alpha$$ y vemos que $\sigma$ tiene el orden 4.