Esquema de grupo endomorphisms de $G_a$ $G_m$

Question

Estoy trabajando a través de algunos ejercicios en grupo esquemas y tenía un par de preguntas. $k$ es un anillo (conmutativo con identidad, siempre), $G_a = \textrm{Spec }k[T], G_m = \textrm{Spec } k[T,T^{-1}] = D(T)$ donde $D(T)$ es el principal conjunto abierto en $G_a$ consiste de todos los números primos que no contengan $T$.

(i): creo que tengo todo excepto el final. Si $\phi: k[T,T^{-1}] \rightarrow k[T,T^{-1}]$ cualquier $k$-álgebra homomorphism, está totalmente determinado por su efecto en la $T$. Desde $k[T,T^{-1}]$ es la localización de $k[T]$ a $S \{1,T,T^2, ... \}$, $\phi$ está bien definida si y sólo si $\phi(T)$ es una unidad en $k[T,T^{-1}]$.

Así que el fin de (i) debe implicar una caracterización de las unidades de $k[T,T^{-1}]$ como aquellos elementos $f$ "sin ceros en cualquier geométrico de la fibra sobre $\textrm{Spec } k$."

No estoy exactamente seguro de lo que esto significa. Mi conjetura sería: para la composición de la $k \rightarrow k[T] \rightarrow k[T,T^{-1}]$, vamos a $\mathfrak p$ ser una de las primeras de $k$. Decimos que $f \in k[T,T^{-1}]$ se desvanece en la fibra de $\mathfrak p$ si existe un prime $P$ $k[T,T^{-1}]$ que contiene $f$ y para el que $P \cap k= \mathfrak p$.

Si esa es la interpretación correcta, entonces la afirmación de que $f$ es una unidad si y sólo si no se desvanecen en cualquier fibra es obvio, porque la unión de las fibras es $\textrm{Spec } k[T,T^{-1}]$, e $f$ es una unidad si y sólo si no se encuentran en cualquier prime ideal.

Hay algo importante que me falta? Yo realmente no uso las propiedades del anillo de la extensión de $k \rightarrow k[T,T^{-1}]$.

Answer 1

Me voy a hacer la $\mathbb{G}_m$ parte de (i). También estoy no va a utilizar $x,y$; creo que eso es raro. El comultiplication mapa va a ser $\Delta:k[t,t^{-1}]\rightarrow k[t,t^{-1}]\otimes_k k[t,t^{-1}]$ lugar.

Tienes razón, un mapa de grupo esquemas $\phi^\#:\mathbb{G}_m\rightarrow \mathbb{G}_m$ $k$ es determinado por el lugar donde $t$ va. También necesitamos $\phi\otimes \phi\circ \Delta=\Delta\circ \phi$. Lo que esto significa es que el $\Delta(\phi(t))=\phi(t)\otimes \phi(t)$. Esta es mi traducción de la condición dada.

Escribir $\phi(t)$ como un polinomio de Laurent, es decir,$\phi(t)=a_nt^n+\cdots +a_{-m}t^{-m}$. La condición anterior se traduce luego en $$a_n t^n\otimes t^n+\cdots + a_{-m}t^{-m}\otimes t^{-m}= a_n^2t^n\otimes t^n+a_na_{n-1} t^n\otimes t^{n-1}+\cdots+a_{-m}^2t^{-m}\otimes t^{-m}.$$ From this we get that $a_i=a_i^2$, $a_ia_j=0$ if $i\neq j$. This can happen only if the $a_i$ forman un sistema ortogonal de idempotents.

Necesitamos más condiciones, por supuesto. También podríamos considerar la counit mapa de $\epsilon:k[t,t^{-1}]\rightarrow k$ de los que tomaron $t$$1$. Entonces la única otra condición que necesitamos es $\epsilon\circ \Delta= \epsilon$. Esto se traduciría en la condición $$1=\epsilon(t)=\epsilon\circ \Delta(t)=\epsilon(a_nt^n+\cdots + a_{-m}t^{-m})=a_n+\cdots + a_{-m}.$$ This actually implies a decomposition of $k$ into a direct sum of "indecomposable" pieces. But it also completely characterizes group scheme endomorphisms of $\mathbf{G}_m$. This shows the forward direction at minimum. It might as well show the converse also: if we assume $\phi(t)$ doesn't vanish in any geometric fiber, then this impies (by taking the residue in the generic point of each connected component of $\text{Spec}(k)$) that the coefficients sum to $1$.