Holomorphic función de la satisfacción de $|f(z)^2-1|<1$

Question

Supongamos que $f(z)$ es holomorphic y satisface la condición de $|f(z)^2-1|<1$ en una región $\Omega$. Mostrar que cualquiera de las $\Re f(z)>0$ o $\Re f(z)<0$ a lo largo de $\Omega$. ($\Re$ denota la parte real.)

Puedo factor de $|f(z)-1|\cdot|f(z)+1|<1$, o si escribimos $f(z)=u(z)+iv(z)$, $$|(u(z)-1)+iv(z)|\cdot|(u(z)+1)+iv(z)|<1.$$

El objetivo es demostrar que, o bien $u(z)<0$ o $u(z)>0$ a lo largo de la región, por lo que quizás en un inicio es asumir que el $u(z_1)<0$$u(z_2)>0$. Substituing, tenemos $$|(u(z_1)-1)+iv(z_1)|\cdot|(u(z_1)+1)+iv(z_1)|<1.$$ Clearly the first absolute value term is greater than $1$, so $|(u(z_1)+1)+iv(z_1)|<1$, and similarly $|(u(z_2)-1)+iv(z_2)|<1$.

También, hay un teorema que un holomorphic función en una región $\Omega$ cuyos derivados se desvanece de forma idéntica debe reducir a una constante, pero no parece ayudar.

Answer 1

Ok, primero que vamos a factor como usted sugiere:

$$|f(z)^2-1|=|f(z)+1||f(z)-1|$$

Esto nos dice que hay un punto de $z$ donde $|f(z)-1|<1$ o $|f(z)+1|<1$, es decir, la distancia de $f(z)$ $1$es de menos de $1$ o de la distancia de $f(z)$ $-1$es menor que uno, respectivamente. Asumir lo anterior es cierto, por lo $\Re f(z)>0$. Ahora supongamos que existe otro punto de $w$$\Re f(w)<0$. Por la continuidad, hay un punto de $y$$\Re f(y)=0$. Pero si esto es cierto, tanto en$|f(y)-1|\ge 1$$|f(y)+1|\ge 1$, una contradicción.