Es el cierre de lineal subespacio de X es un subespacio lineal de X??

Question

Deje $X$ ser una normativa espacio lineal con la norma $||\cdot||$ $A \neq \emptyset$ es un subespacio lineal de $X$. Demostrar que $\bar{A}$ es también un subespacio lineal de $X$.

Answer 1

Es suficiente para demostrar que $\alpha x + \beta y \in \overline{X}$ donde $\alpha, \beta$ están en el campo subyacente $\mathbb{F}$$x, y \in \overline{X}$. Sabemos que $0 \in \overline{X}$ desde $X \subset \overline{X}$. Desde $x, y \in \overline{X}$ existe $x_{j}, y_{j} \in X$ tal que $x_j \to x$$y_j \to y$. Puesto que la multiplicación y la suma son continuas $\alpha x_j + \beta y_j \to \alpha x + \beta y$. Por lo tanto, $\alpha x + \beta y \in \overline{X}$

Answer 2

Muestran que el cierre de la $\overline Y$ de un subespacio $Y$ de una normativa espacio de $X$ es de nuevo un subespacio vectorial.

Prueba: Supongamos $x, y \in \overline Y$. Hay tres casos debemos tener en cuenta.

1. Si $x, y \in Y$, entonces es inmediato que $x + y \in Y$ desde $Y$ es un subespacio de $X$ e lo $x + y \in \overline Y$.
2. Si $x \in \overline Y \setminus Y$$y \in Y$, entonces por definición, $\varepsilon > 0$ existe $x_0 \in Y$ $x_0 \neq x$ tal que $d(x_0, x) = \|x_0 - x\| < \varepsilon$. Ahora observar que desde $x_0 \neq x$$x_0 + y \neq x + y$$x_0 + y \in Y$. Ahora tenemos $d(x_0 + y, x + y) = \|x_0 + y - x - y\| = \|x_0 - x\| < \varepsilon$. Por lo tanto podemos concluir que el $x_0 + y$ es un punto de acumulación de a $Y$. Por lo tanto $x + y \in \overline Y$.
3. Si $x, y \in \overline Y \setminus Y$, entonces por definición dada $\varepsilon > 0$ existe $x_0 \in Y$ $x_0 \neq x$ tal que $d(x_0, x) = \|x_0 - x\| < \varepsilon/2$. Asimismo, existe $y_0 \in Y$ $y_0 \neq y$ tal que $d(y_0, y) = \|y_0 - y\| < \varepsilon/2$. Si $x_0 + y_0 = x + y$ elegir algunos $x_0 \neq x_0' \in Y$ tal que $d(x_0', x) = \|x_0' - x\| < \varepsilon/2$ cual es cierto ya que hay infinitamente muchos elementos en $Y$ con esa propiedad. Así que supongamos, sin pérdida de generalidad que $x_0 + y_0 \neq x + y$. De ello se sigue que $$d(x_0 + y_0, x + y) = \|x_0 + y_0 - x - y\| \leq \|x_0 - x\| + \|y_0 - y\| < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon.$$ Hence we have shown that $x + y$ is an accumulation point of $S$ and hence $x + y \in \overline Y$.

Ahora supongamos $x \in \overline Y$. Supongamos $\alpha$ es un escalar. Debemos considerar dos casos.

1. Si $x \in Y$ desde $Y$ es un subespacio de $X$ sigue inmediatamente que $\alpha x \in Y$ e lo $\alpha x \in \overline Y$.
2. Si $x \in \overline Y \setminus Y$ $x$ es un punto de acumulación de a $Y$. Por definición dada $\varepsilon > 0$ existe $x_0 \in Y$ $x_0 \neq x$ tal que $d(x_0, x) = \|x_0 - x\| < \varepsilon/(\vert \alpha \vert + 1)$. Ahora desde $x_0 \neq x$ $\alpha x_0 \neq \alpha x$ y observar que $$d(\alpha x_0, \alpha x) = \|\alpha x_0 - \alpha x \| = \vert \alpha \vert \|x_0 - x\| < \vert \alpha \vert \frac{\varepsilon}{\vert \alpha \vert +1} < \varepsilon.$$ Thus we have shown that $\alfa x$ is an accumulation point and we can conclude that $\alpha x \in \overline Y$.

Por lo tanto podemos concluir que el $\overline Y$ es un subespacio de $X$.

Nota: es mi entendimiento de que el cierre de un conjunto a es el conjunto junto con toda su límite de puntos o la acumulación de puntos. Es mi entendimiento de que ello NO implica que todos los elementos de un conjunto son el límite de puntos de la serie. Por favor me corrija si estoy mal aquí!