Quiero demostrar que para $n>0$ , $2^n$ y $2^n + 1$ tienen el mismo número de dígitos.
Lo que hice fue encontrar que la fórmula para el número de dígitos de un número $x$ es $\left \lfloor{\log_{10}(x)}\right \rfloor + 1$ Así que, básicamente, si resteo esa fórmula con $x = 2^n$ con la fórmula con $x = 2^n + 1$ Debería obtener cero.
$\left \lfloor{\log_{10}(2^n)}\right \rfloor + 1 - (\left \lfloor{\log_{10}(2^n + 1)}\right \rfloor + 1) = \left \lfloor{\log_{10}(2^n)}\right \rfloor -\left \lfloor{\log_{10}(2^n + 1)}\right \rfloor $ .
En este punto, no conozco una forma de simplificar más esto para que sea igual $0$ . Pensé en mencionar que $\log_{10}(x)$ aumenta más lentamente que $x$ como $x$ aumenta, lo que significaría que la diferencia del piso de los logaritmos de dos números consecutivos puede ser cercana a cero, pero eso no sirve para demostrar que $2^n, 2^n + 1$ tienen exactamente el mismo número de dígitos.
¿Hay alguna propiedad especial del suelo o del tronco que pueda utilizar para facilitar esto? Se agradece cualquier ayuda.
