deje $K$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Considere la posibilidad de la clausura algebraica $\overline{K(X)}$$K(X)$, $X$ más trascendente $K$. Hay casos en que $\overline{K(X)}\cong K$? donde $\cong$ es isomorfismo en cualquier sentido u prefieren. Ejemplo: si consideramos la $K=\mathbb{C}$ esto es cierto si tomamos $\cong$ isomorfismo de $\mathbb{Q}$ espacios vectoriales. ¿Qué acerca de la estructura del campo?
Gracias
Sí. Todos algebraicamente cerrado campos de la misma característica y la trascendencia de grado son isomorfos como campos. $\overline{K(X)}$ tiene trascendencia grado uno más que el de $K$, lo $\overline{K(X)}\cong K$ siempre $K$ tiene trascendencia infinita grado. Por ejemplo, $\overline{\mathbb{C}(X)}\cong \mathbb{C}$.
La respuesta es sí, hay casos de este tipo. De hecho, estos casos son en un sentido de la norma.
Si $\kappa$ es un incontable cardenal, cualquiera de los dos algebraicamente cerrado campos de cardinalidad $\kappa$ y característicos $p$ donde $p$ pueden $0$, son isomorfos.
En el modelo de la teoría, la forma estándar para referirse a este hecho diciendo que la teoría de la algebraicamente cerrado campos de la característica $p$ $\kappa$categoría para cualquier innumerables $\kappa$.
Así, en particular, si $K$ es el campo de los números complejos, entonces la clausura algebraica de $K(X)$ donde $X$ es trascendental $K$, es isomorfo a $K$.
El algebraicamente cerrado $K$ para que el algebraicas cierre de $K(X)$ es no isomorfo a $K$ son "inusuales"! Por ejemplo, si $F$ es el campo de los números algebraicos, entonces la única de las extensiones de $K$ $F$ con esta propiedad son hasta el isomorfismo, la algebraica de los cierres de los campos obtenidos mediante la adición de un número finito de trascendentales a $F$.
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