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La forma de una habitación más grande en el interior

Tengo una instalación avanzada con muchas plantas que contienen tecnología experimental. Uno de estos suelos va para siempre. ¿De qué forma es?

Más específicamente: dentro de la sala, se puede mover tan lejos como quieras en cualquier dirección dada. Es posible viajar a una distancia infinita en una línea recta, en el sentido en el que deberás viajar la misma distancia en el fin de volver a su punto de partida; los gastos de viaje de tiempo y de energía; hay (eventualmente) la velocidad de la luz demora en las comunicaciones, etc, etc. No hay observable de los bordes de la habitación, por lo que al entrar parece ser que han surgido en el centro de un vasto habituales del espacio. Los objetos no aparecen visiblemente distorsionada cuando se mueve a través del espacio, pero todo en la habitación es lo suficientemente pequeño como para haber sido contratado a través de la puerta (digamos vehículo-garaje-tamaño).

Esta sala es, sin embargo, no es particularmente útil, porque a pesar de su tamaño aparente, no se puede meter mucho en ella - la capacidad de almacenamiento de la habitación todavía está limitado por el edificio que contiene:

  • el volumen dentro de la habitación no es mayor que el volumen de cualquier otro piso del edificio, con una equivalencia en el espacio externo. Tratando de poner más objetos en la habitación de su inserción en un espacio convencional resultará en Cosas Malas™ sucediendo (ciertamente no es nada, un protagonista quiere experimentar de primera mano).

  • la masa que puede estar contenida dentro de la sala es limitado por la estructura de soporte del edificio, el mismo que en cualquier otro piso. La sobrecarga y el suelo se derrumbará. Este es el resultado probable de los problemas conectados con el primer punto, demasiado, a menos que lo que el proceso es el mantenimiento de la distorsión espacial se apaga rápidamente por la destrucción.

Tratando de inundar el nivel con agua o cemento sin duda sería una muy mala idea.

La causa de este efecto es, obviamente, muchísimo más allá del alcance de una SE pregunta, y de todos modos el protagonista no está interesado. Sin embargo, para nosotros los creadores más débiles de matemáticas-fu, lo que sería una matemática rigurosa descripción de los efectos sobre el espacio que se observan dentro de la habitación?

Me estoy inclinando hacia algo parecido a una de cuatro dimensiones versión de una forma a lo largo de las líneas de una esponja de Menger, lo que demuestra un efecto similar a la sala, que tiene una infinidad de superficie, pero, volumen cero (o tal vez su inversa, que - supongo - también tiene una infinidad de superficie, pero la unidad de volumen). Movimiento en la superficie de una esponja de Menger sería ligeramente similar a una versión en 2D de los de arriba, en la que se podía mover infinitamente en algunas rutas, pero se mantienen dentro de un espacio cerrado.

Hay una forma fractal que se ajusta a los resultados descritos anteriormente y puede ser utilizado para describir el espacio dentro de la sala? es decir, infinito longitudes posibles entre los puntos en el espacio que encierra, finito volumen 3D para toda la forma.

El espacio no tiene que aparecer vacío, si desembalaje de un 4D forma en 3D necesariamente resultado de las singularidades o matemáticamente correcta de términos de la creación de áreas que no pueden ser movidos a través de limpiamente / espacios que no están alineados (que en realidad podría ser un bono para tener "libre" de piso y el apoyo de los puntales de todo, que no son reales los objetos con masa), de manera similar a cómo usted no puede viajar en una interminable línea recta en cualquier dirección en el infinito de la superficie de la esponja de Menger (creo).

(soluciones que permiten a un volumen infinito en el espacio son aceptables, si esto es un imposible solicitud - siempre puedo usar el límite de peso para evitar que el espacio de ser útil, pero la limitación de volumen parece más interesante para la historia)

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Adam Malter Puntos 96

Una posibilidad es la de un televisor de $3$-toro. Esta es la forma de obtener mediante la adopción de un cubo (o, más en general, un parallelopiped) y declarando que las caras opuestas del cubo son en realidad iguales el uno al otro. Esto significa que cuando usted camina lo bastante lejos en una dirección, "alrededor" de vuelta al otro lado. En particular, esto significa que usted puede seguir caminando infinitamente largo en cualquier dirección, y la habitación no tiene "bordes". El volumen total del toro es el mismo que el volumen del cubo con el que comenzó, por lo que es finito. Y a nivel local, la geometría es la misma que la del cubo, por lo que es normal que la geometría Euclidiana, por lo que se ve como normal el espacio como el tiempo que no se ven lo suficientemente lejos como para ver las cosas de envoltura alrededor.

Sin embargo, esto podría no ser muy satisfactorio para la propiedad de ser capaz de "caminar infinitamente lejos", porque mientras que usted puede caminar por un ser infinitamente mucho tiempo, después de caminar un poco, te encontrarás a la derecha de nuevo donde empezamos (o, técnicamente, arbitrariamente cerca de donde comenzó, a menos que la dirección que usted está caminando es un racional combinación lineal de los bordes del cubo). Y no es un uniforme límite en la longitud de las más corto camino entre dos puntos.

Alternativamente, si usted está dispuesto a soltar la suposición de que puede mover infinitamente en cada dirección, y simplemente queremos que exista direcciones puedes ir infinitamente lejano, que no es fácil conseguir una forma sin tener ningún tipo de extraño topología. Acaba de tomar cualquier agradable ordinario subconjunto de $\mathbb{R}^3$ como una pelota, y adjuntar algunos de los "zarcillos" se va a infinito. Si usted hace los zarcillos de obtener más y más fina lo suficientemente rápido como salen, el volumen seguirá siendo finito. No estoy seguro de que esto realmente capta su intuición, aunque, como las direcciones en las que se puede ir hasta el infinito, son muy restringidas, y si intenta viajar realmente a lo largo de ellas durante mucho tiempo, rápidamente les va a ser demasiado delgada para caber ellos (suponiendo que son un objeto real en lugar de un punto sin volumen). El último problema que parece inevitable: si usted puede mover un objeto con un resultado positivo de bajar volumen infinitamente largo camino que no loop a sí mismo (como ocurre en el torus), entonces por la búsqueda de su camino, se puede ver que su espacio debe tener volumen infinito.

Por cierto, estoy asumiendo aquí que cuando usted dice que hay "sin bordes", que está incluida la de que no hay suelo o en el techo de la habitación (para subir y bajar entre las direcciones que se puede mover). Si usted quiere tener un piso y el techo, probablemente debería tomar sólo las dos dimensiones de las versiones de estas formas (una tv de $2$-toro, o una forma plana con zarcillos), y dejar que las direcciones verticales tienen la geometría ordinaria (en términos matemáticos, esto significa que usted tome un producto de la 2-de la forma tridimensional con un intervalo cerrado, con el intervalo de ser la dirección vertical).

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Mark Struzinski Puntos 11288

No creo que esto es exactamente lo que usted está pidiendo, pero un isométrico de la incrustación de un plano de la unidad de toro tiene la propiedad de que si tienes que elegir una dirección al azar y empezar a caminar, con una probabilidad de $1$ usted nunca se intersecan su propio camino. Cualquier línea con un irracional pendiente se extenderá por siempre en longitud, sin encontrarse a sí mismo.

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