¿Cuál es la definición de Peano de la resta?

Question

Se me ocurrió esto:

(S.1) $a - a = 0$

(S.2) $a - b = S(a - S(b))$

Esto parece funcionar. Al menos para $a$$ \N - La marca de la casa $$b$ .

¿Es ésta la formulación correcta o más eficiente?

Además, ¿hay alguna para la división? Por supuesto, me imagino que esa división sólo funcionaría para $a/b$ , donde $a$ es un múltiplo de $b$ .

Lo que se me ha ocurrido para esta es:

(D.1) $0 / a = 0$

(D.2) $a / b = 1 + (a - b)/b$

Answer 1

Desde el punto de vista de la implementación, su definición es ineficiente, porque en cada paso hay que decidir si se aplica el $a-a = 0$ que requiere que se compruebe si los dos argumentos de $-$ son iguales, y esto llevará mucho tiempo si los argumentos son grandes.

Una implementación más eficiente es:

$$\begin{array}{rll} a&-0 &= a \\ 0&-S(b) &= 0 \qquad\text{(or leave this undefined)}\\ S(a)&-S(b) & = a-b \end{array}$$

Aquí puedes decidir en tiempo constante cuál de los tres casos se aplica: ¿el segundo argumento es cero? Si es así aplica la primera regla, si no, ¿es el primer argumento cero? Si lo es, aplica la segunda regla; si no, aplica la tercera.

Deje el caso intermedio sin definir si desea una sustracción ordinaria, pero defínalo como 0 si desea la llamada "sustracción truncada" en la que $a-b = 0$ cuando $a<b$ .

Para la división, es mejor dividirla en operaciones de números enteros. Para cada $a$ y $b$ hay un cociente entero $q$ y un resto entero $r$ tal que $$a = qb+r$$ y $0\le r < b$ ; si $r = 0$ entonces $b$ divide $a$ exactamente y $q = a\div b$ . Calcular el cociente y el resto de números enteros en aritmética Peano no es difícil. El cociente es:

$$\begin{array}{rll} 0&\div S(b) &= 0 \\ S(a)&\div S(b) &= S((a b)\div S(b)) \end{array}$$

Donde se denota la sustracción truncada. Entonces el resto es simplemente $a - b\cdot(a\div b)$ .

Answer 2

Tu definición funcionaría, y como Peano sólo define los números naturales, sólo necesitarías la resta cuando $a \geq b$ . Normalmente los axiomas de Peano no definen la resta, sino que la resta se define simplemente como la inversa de la suma, es decir $a - b = a + (-b)$ , donde $-b$ es el número definido por $b + (-b) = 0$ . Para que esto funcione se necesita todo el $\mathbb{Z}$ para trabajar.

Answer 3

Si todo lo que quieres es una definición, la más simple debería ser: $$a-b = c \iff a = b+c$$

Si quieres una fórmula constructiva, quieres el $S$ a la izquierda. Yo sugeriría:

• $a-a = 0$ (igual que su S.1)
• $S(a) - b = S(a-b)$

Por supuesto, esto sólo funciona si $a\ge b$ pero si $a<b$ la diferencia no está definida en los números naturales.