Es $\{\varnothing\}\subset\{1,2,3\}$ verdad?

Question

$\{\varnothing\}\subset\{1,2,3\}$ No sé si esto es cierto o no. Sé el emptyset es un subconjunto de todo conjunto, pero esto es realmente confuso para mí.

Answer 1

$\{\emptyset\}$ no es un subconjunto de a $\{1,2,3\}$ porque $\emptyset$ no es un elemento de $\{1,2,3\}$.

Pero es un subconjunto de cualquier conjunto que tiene $\emptyset$ como un elemento, como por ejemplo, $\{\emptyset , bananas \}$

Answer 2

Hay una analogía que puede ayudar aquí. Es un poco peligroso, porque es tentador para extender donde no pertenece, pero para algo como esto, que podría ser de ayuda.

Pensar en conjuntos como cuadros. Las cosas en una caja, para que la caja de los miembros o elementos. En contraste, un cuadro es un subconjunto (un sub-cuadro, si se quiere) de otro cuadro si y sólo si la segunda caja tiene todo el primer cuadro de ha. El conjunto vacío es una caja vacía, por supuesto.

Así, en la izquierda (por ejemplo), tiene una caja, cuyo contenido sólo son una caja vacía. A la derecha, usted tiene el otro cuadro, cuyo único contenido son los números $1$, $2$, y $3$. El cuadro de la izquierda es no un subconjunto de la caja de la derecha, porque el cuadro de la izquierda tiene una caja vacía, que no es una de las cosas en el cuadro de la derecha.

Que cuadro vacío es un subconjunto de la caja de la derecha, porque no hay nada en él que no está contenido también en el cuadro de la derecha. (Que es, por supuesto, porque no hay nada en la caja vacía en absoluto!)

De forma análoga, el conjunto vacío es un subconjunto del conjunto $\{1, 2, 3\}$ (y es, de hecho, un subconjunto de cualquier conjunto a todos), pero el conjunto que contiene al conjunto vacío no es un subconjunto del conjunto $\{1, 2, 3\}$. No es un subconjunto de cualquier conjunto que explícitamente no contienen el conjunto vacío como un elemento.

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Por supuesto, es totalmente posible que esta metáfora es confuso y/o molesto para usted. Es que sucede. Pero que ayuda a algunas personas (incluyéndome a mí, a veces).

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ETA: a mí Se me ocurre, después de volver a leer tu pregunta, que eligió un ejemplo curioso que sólo pasa a presentar una linda coincidencia. En Zermelo-Frankel (ZF) la teoría de conjuntos, que es el estándar para definir los números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ como conjuntos. En particular, se define el cero como el conjunto vacío y, a continuación, cada éxito es la unión del número anterior y el conjunto que contiene el número anterior. (Hay razones técnicas para hacerlo de esta forma, que no nos conciernen aquí.)

Así que, por lo tanto, tenemos

$$0 = \emptyset$$

$$1 = 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{\emptyset\}$$

$$2 = 1 \cup \{1\} = \{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$

$$3 = 2 \cup \{2\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \cup \{\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$

Así que la afirmación de que originalmente se escribió fue

$$\{\emptyset\} \subconjunto \{\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$$

que resulta ser falsa. Pero si usted hubiera hecho sólo un pequeño cambio y le preguntó si $\{\emptyset\} \subset \{0, 1, 2, 3\}$, que habría sido cierto (!). Resulta que si usted definir los números naturales de esta manera, luego de un número es menor que otro (en el sentido informal) si a es un subconjunto de la otra (en el sentido formal). Así que "por supuesto" el cambio de la afirmación es verdadera, debido a que $1 < 4$. Pero $\{1, 2, 3\}$ no es un número en el que la definición de marco.

Pero no es motivo de esta manera ordinaria. Esto era algo a lo que le ocurrió a elegir el ajuste. La gente normalmente no trabajo con números como conjuntos; es útil saber que se puede hacer de esa manera, de una forma rigurosa, pero eso no es cómo la aritmética se realiza.