La prueba directa de la compacidad de $\mathbb{Z}_p$

Question

Deje $\mathbb{Z}_{p}$ es la culminación de $\mathbb{Z}$ con respecto al $p-$normas. En realidad sé que $\mathbb{Z}_{p}$ es bijective para el conjunto de Cantor, que es compacto, por lo tanto, por homeomorphism, también es compacto.

Sin embargo, hay ninguna prueba directa de la compacidad de $\mathbb{Z}_{p}$? Lo que quiero decir "directo" a prueba de aquí es que sólo podemos utilizar la definición de compacidad, es decir, cada apertura de la tapa ha finito subcover.

Lo que he intentado hacer para demostrar que la compacidad es que, si $\cup_{i}^{\infty}O_{i}$ es abrir la cubierta, a continuación, que contienen $\cup_{x \in \mathbb{Z}_p} B_{r_x}(x)$ por cada $r_{x}>0$. Ahora quiero comprar unas bolas utilizando totalmente acotamiento, pero no sé cómo expandir este argumento.

Answer 1

He aquí una prueba directa de la compacidad secuencial de $\mathbb{Z}_p$, es decir, que cada secuencia en $\mathbb{Z}_p$ tiene un convergentes larga. Supongamos $(x_n)$ es una secuencia en $\mathbb{Z}_p$. Recordemos que cada una de las $x \in \mathbb{Z}_p$ tiene una representación única como $$ x = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \cdots $$ con $a_i \in \{0,1, \ldots, p-1\}$. Me voy a referir a $a_i$ $p^i$ coeficiente. Dado que la secuencia tiene un número infinito de términos, debe ser un valor de $b_0 \in \{0,1, \ldots, p-1\}$ $1$- coeficiente de infinitos términos de la progresión, es decir, $x_n \equiv b_0 \pmod{p}$ para infinidad de $n$. Elija cualquiera de dichas $n_0$ y deje $x_{n_0}$ ser el primer término en nuestra larga. Ahora el conjunto $S_0 := \{n \in \mathbb{N} : x_n \equiv b_0 \pmod{p}\}$ es infinita por la construcción, por lo que debe haber un valor de $b_1 \in \{0,1, \ldots, p-1\}$ $p$- coeficiente de infinidad de $x_n$$n \in S_0$, es decir, $x_n \equiv b_0 + b_1 p \mod{p^2}$ para infinidad de $n \in S_0$. Elija cualquiera de dichas $n_1$ y deje $x_{n_1}$ ser el siguiente término en nuestra larga.

Puede repetir el procedimiento anterior para definir de forma recursiva una larga $(x_{n_i})$ que converge a $x := \sum_{n =0}^\infty b_n p^n$ desde $|x_{n_i} - x|_p \leq \frac{1}{p^{i+1}}$ por cada $i$.

Answer 2

Si por alguna $k\in\mathbb N$ cada uno de un número finito de $p^{-k}$-bolas permite un número finito de subcover, podemos unir estas junto a onbtain de un número finito de subcover de todo el espacio. Así que supongamos que para cada una de las $k$ existe una bola de $B_{p^{-k}}(x_k)$ que no permite un número finito de subcover. Por esta misma condición, podemos optar $x_{k+1}$, de modo que es en $B_{p^{-k}}(x_k)$. A continuación, el sequencce $(x_k)_{k=1}^\infty$ es de Cauchy, por lo tanto tiene un límite de $x$, en cada una de las $B_{p^{-k}}(x_k)$. Pick $i$$x\in O_i$. A continuación, $O_i$ contiene una bola de $B_{p^{-k}}(x)$ y por lo tanto también es $B_{p^{-k}}(x_k)$, por lo que esta pelota no permitir que un finito subcover - contradicción!