¿$\displaystyle\sum{\ln n\over n^{4/3}}$ Convergen o divergen?

Question

¿$\displaystyle\sum{\ln n\over n^{4/3}}$ Convergen o divergen? ¿Qué prueba debería utilizar? He probado la relación entre prueba y prueba de raíz pero ambos son poco concluyentes. Podía tratar de la prueba de comparación pero no sé que tengo que comparar con la función.

Answer 1

Mediante la prueba integral puede comparar su serie con la integral siguiente: $$ \int_1^\infty \frac{\ln x} {x ^ {4/3}} dx=\left.\frac{x^{-4/3+1}}{-4/3+1}\ln x\right | _1 ^ \frac1 \infty {-4 / 3 +1} \int_1^\infty x ^ {-4 / 3 +1} \frac1 {x} dx = 9 convergencia de la serie $ \sum_1^\infty\frac{\ln n} {n ^ {4/3}}. $$

Answer 2

Vamos a aplicar la prueba de condensación de Cauchy :

$$2^n a_{2^n}=2^n\cdot \frac{\log 2^n}{2^{4n/3}}=\log{2}\cdot \frac{n}{2^{n/3}}$$

$\sum_n^\infty \frac{n}{2^{n/3}} $ claramente converge, entonces la serie determinada también converge.

Answer 3

Esto puede requerir un poco de computación. Observe que si se puede comparar el $\frac{\ln(n)}{n^{4/3}}$ a una convergencia $p$-serie, entonces la respuesta será obvia. Proceder así como sigue: $$\frac{\ln(n)}{n^{4/3}} = \frac{1}{n^{7/6}}\frac{\ln(n)}{n^{1/6}} <\frac{1}{n^{7/6}}$$ Esto es cierto sólo si $n$ es mayor que alrededor de $2.5\times 10^7$. Pero puede dividir la suma en dos: $$\sum_{n=1}^{n = 2.5\times 10^7}\frac{\ln(n)}{n^{4/3}} + \sum_{n=2.5\times 10^7}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^{4/3}}$$ El primer término converge, ya que es una suma finita, mientras que la segunda converge porque es menos que el $p$serie $\frac{1}{n^{7/6}}$. No es muy útil en el examen a menos que te das cuenta de que hay siempre un gran valor de $n$ que puede obligar a la desigualdad en el principio.

Answer 4

Otra forma es comparar $\ln(.)$ $\sqrt{.}$ de hecho %#% $ #%

Entonces $$\forall x \in \mathbb{R}, \ln(x) \le \sqrt{x}$ $

Así que para el $$\forall n \in \mathbb{N}, \ln(n) \le \sqrt{n}$ % $ $n> 1$

Y obviamente $$\left|\frac{\ln(n)}{n^{\frac{4}{3}}}\right|\le\left|\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{4}{3}}}\right|=\frac{1}{n^{\frac{6}{5}}}$ por lo que la serie es convergente.