Representación geométrica de $\mathbb R/\mathbb Z$

Question

¿Me preguntaba lo que el grupo de quoteint $\mathbb R/\mathbb Z$ parecería geométrico? Cualquier dos elementos en este grupo estarán relacionadas sólo si su diferencia es un número entero.

Estaba leyendo sobre la geometría de un toro, en donde se dijo que $\mathbb R^n/\mathbb Z^n$ era equivalente a un toro en n dimensiones, por lo que yo pensaba que $\mathbb R/\mathbb Z$ probablemente debería ser un círculo, pero si eso es correcto ¿cómo sería conseguir ese tipo de una construcción?

Answer 1

Sí, $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$ un grupo así como un colector, con el isomorfismo de $x\to exp(2\pi ix)$.

De hecho en muchos casos que un toro se define como el producto de $k-fold$ $S^1$, por ejemplo el habitual $2-d$ Toro es $S^1\times S^1$.