Cómo determinar la matriz en el siguiente caso

Question

Decir que tenemos un vector $\textbf{b}$ y $\textbf u$ tal que: %#% $ de #% donde $$A \mathbf b= \mathbf u$ es una matriz cuadrada.

Si % son conocidos $A$y $\mathbf b$ y $\mathbf u$ es lo desconocido, ¿cómo obtener la matriz de $A$ (tal vez no es único pero ¿cómo puede uno proceder para conseguirlo)?

Answer 1

Si son el ${\bf u},{\bf b}$ $n$-dimensional columna vectores con ${\bf b}\not={\bf 0}$ (lo contrario también ${\bf u}$ debe ser ${\bf 0}$), solo tome $$A=\frac{{\bf u}\cdot {\bf b}^t}{|{\bf b}|^2}$ $ entonces %#% $ de #% por ejemplo por tomar $$A{\bf b}=\frac{({\bf u}\cdot {\bf b}^t) {\bf b}}{|{\bf b}|^2}=\frac{{\bf u}({\bf b}^t {\bf b})}{|{\bf b}|^2}={\bf u}.$ $ entonces $${\bf b}=\begin{pmatrix}1\ 2\end{pmatrix}\quad\mbox{and}\quad {\bf u}=\begin{pmatrix}3\ 4\end{pmatrix}$ y $|{\bf b}|^2=5$.

Answer 2

El lugar geométrico de matrices posibles $A$ es sólo el conjunto de soluciones simultáneas de ecuaciones $$a_{i1}b1+\ldots+a{ik}b_k=u_i,$$ where $k$ is the dimension of the vector $b$, and $i$ runs over the coordinates of $u$ (that correspond to the rows of $A$). In other words, if $b\neq0$, the space of all such $A$ is a linear variety of dimension $nk-n$ (assuming $n\times k $ to be the size of $A$).

Answer 3

$$\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} \\a_{21} &a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}$$

Es equivalente a

$$\begin{pmatrix}a_{11}b_1+a_{12}b_2 \\a_{21}b_1+a_{22}b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}$$

o

$$\begin{pmatrix}b_1 &b_2 &0 &0\\0 &0 &b_1 &b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{12}\\a_{21}\\a_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}.$$

Usted puede entonces resolver para $A$ con una reducción de la fila apropiada de la matriz ampliada.

Esto puede ser fácilmente generalizado: Supongamos $A$$m\times n$$b$$n\times 1$. Deje $a^T$ $1\times mn$ vector formado por la concatenación de las filas de $A$, e $B$ $m\times mn$ de la matriz dada por

$$B=\begin{pmatrix}b^T & 0 & \cdots & 0\\0 &b^T &\cdots &0\\\vdots&\vdots&\ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots & b^T\end{pmatrix} $$

donde cada una de las $0$ representa un vector fila de $n$ ceros. A continuación, el sistema es

$$Ba=u.$$