Buscando la intuición detrás de la Fórmula del Producto de Euler y cosas relacionadas con la Teoría de Números

Question

He estado tratando de sumergirme en la Teoría de Números para entender mejor los números primos. He encontrado la fórmula del producto de Euler, $$\sum_{n\in\mathbb{N}}{\frac{1}{n^s}}=\prod_{\text{Prime }p}{\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}}$$ Al investigar esto, varias cosas me confundieron. En una explicación informal, no entiendo cómo Añadir para n=1,2,3... en la primera página. En otro libro que tengo, veo que "amplían los factores" diciendo $$\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{(p^2)^s}+\frac{1}{(p^3)^s}+...$$ y tampoco veo de dónde sale eso. También tengo curiosidad por saber por qué expresamos el producto como una fracción tan poco manejable en lugar de escribir simplemente $\frac{p^s}{p^s-1}$ . Supongo que mi pregunta general es... ¿estoy ciego y esto no me cuadra, o estoy sobrepasado y estos pasos implican otras partes de la teoría de números que no se mencionan? Me disculpo si he sido demasiado amplio o poco específico, estaré encantado de aclarar lo que pueda o mover esto a un lugar más apropiado.

Answer 1

Recuerda que $\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ...$ . Si dejamos que $x = 1/p$ obtenemos una secuencia de todas las potencias inversas de $p$ . Ahora, si multiplicamos estas secuencias sobre todas las $p$ En este caso, estamos generando todas las combinaciones posibles de varios primos a varias potencias (ley distributiva) y por el Teorema Fundamental de la Aritmética podemos saber con seguridad que cada entero inverso se expresa una y exactamente una vez. ¿Ayuda esto?