¿Por qué grupos solubles pueden ' tiene 6 5-subgrupos de sylow?

Question

Como se mencionó en la Pregunta sobre el unsolvability un grupo, una solución finita grupo no puede tener el dinero exacto 6 Sylow de 5 subgrupos. Y estoy tratando de probarlo.

Supongamos que el opuesto a ese $\Sigma=\{ P_1,...P_6\}$ es el conjunto de Sylow de 5 subgrupos de $G$ y deje $G$ actúa por conjugacy. A continuación, $G/H$ puede ser embebido en $S_6$ donde $H= \bigcap_{i=1}^6 N_G(P_i)$. Dado que el número de Sylow de 5 subgrupos de $G/H$ es en la mayoría de los 6, y $S_6$ 36 Sylow de 5 subgrupos, $G/H$ es un buen subgrupo de $S_6$. Entonces he perdido mi de mayo. Desde $A_5$ ha exacta 6 Sylow de 5 subgrupos y es muy sencillo, supongo que hay algo que hacer con $G/H$$A_5$. A continuación, llevar a una contradicción como $G$ se supone que para ser resueltos. Estoy en lo cierto? Qué hacer a continuación? Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí está una manera de hacerlo, pero esto implica el uso de un par de resultados acerca de los subgrupos de $S_n$. Dado que todos los subgrupos de Sylow son conjugadas, la imagen de $G/H$ de la acción en $S_6$ es transitiva. Un elemento de orden $5$ genera un Sylow $5$-subgrupo, por lo que se normaliza la que, y por lo tanto, fija un punto en la acción, pero actúa como un $5$-cyclc en el otro $5$ puntos. De modo que la imagen actúa doblemente transitivamente.

Ahora si $G$ era solucionable, a continuación, $G/H$ sería solucionable, por lo que tendría un trivial normal primaria $p$-subgrupo de algunos de los mejores $p$. Pero cualquiera que no sea trivial subgrupo normal de un doble transitiva permutación grupo actúa transitivamente, y así tendría el fin divisible por $6$, contradicción. Por lo $G$ no puede ser solucionable.