¿Las funciones de las variables independientes son también independientes?

Question

Es una pregunta muy sencilla. Sin embargo, no la he visto en los libros y he intentado encontrar la respuesta en la web, pero he fracasado.

Si tengo dos variables aleatorias independientes $X_1$ y $X_2$ y luego defino otras dos variables aleatorias $Y_1$ y $Y_2$ , donde $Y_1$ = $f_1(X_1)$ y $Y_2$ = $f_2(X_2)$ .

Intuitivamente, $Y_1$ y $Y_2$ debería ser independiente, y no encuentro un ejemplo contrario, pero no estoy seguro. ¿Alguien podría decirme si son independientes? ¿Depende de algunas propiedades de $f_1$ y $f_2$ ?

Gracias.

Answer 1

Sí, son independientes.

Si estás estudiando un curso riguroso de probabilidad con álgebras sigma, puedes demostrarlo observando que la álgebra sigma generada por $f_{1}(X_{1})$ es menor que el álgebra sigma generada por $X_{1}$ , donde $f_{1}$ es una función medible por el barreno.

Si estás estudiando un curso introductorio - entonces sólo remarca que este teorema es consistente con nuestra intuición: si $X_{1}$ no contiene información sobre $X_{2}$ entonces $f_{1}(X_{1})$ no contiene información sobre $f_{2}(X_{2})$ .

Answer 2

Para dos conjuntos (medibles) cualesquiera $A_i$ , $i=1,2$ , $Y_i \in A_i$ si y sólo si $X_i \in B_i$ , donde $B_i$ son los conjuntos { $s : f_i (s) \in A_i$ }. Por lo tanto, dado que el $X_i$ son independientes, ${\rm P}(Y_1 \in A_1 , Y_2 \in A_2) = {\rm P}(Y_1 \in A_1) {\rm P}(Y_2 \in A_2)$ . Así, el $Y_i$ son independientes (lo cual es intuitivamente claro de todos modos). [Hemos utilizado aquí que las variables aleatorias $Z_i$ , $i=1,2$ son independientes si y sólo si ${\rm P}(Z_1 \in C_1 , Z_2 \in C_2) = {\rm P}(Z_1 \in C_1) {\rm P}(Z_2 \in C_2)$ para dos conjuntos medibles cualesquiera $C_i$ .]

Answer 3

Sí, son independientes.

Las respuestas anteriores son suficientes y rigurosas. Por otro lado, se puede replantear como sigue. Supongamos que son variables aleatorias discretas.

$\Pr[Y_1 = f_1(X_1) \wedge Y_2 = f_2(X_2)] = \Pr[X_1 \in f_1^{-1}(Y_1)\wedge X_2\in f_2^{-1}(Y_2)] = \Pr[X_1 \in A_1 \wedge X_2 \in A_2]$

y lo expandimos mediante la función de masa de probabilidad derivada

$ = \sum_{x_1 \in A_1\wedge x_2 \in A_2}\Pr(x_1, x_2) = \sum_{x_1 \in A_1\wedge x_2 \in A_2}\Pr(x_1)\Pr(x_2) $

Aquí utilizamos la independencia de $X_1$ y $X_2$ y barajamos el orden de la suma

$= \sum_{x_1 \in A_1}\Pr(x_1)\cdot \sum_{x_2 \in A_2} \Pr(x_2) = \Pr[X_1\in f_1^{-1}(Y_1)]\cdot \Pr[X_2 \in f_2^{-1}(Y_2)] = \Pr[Y_1 = f_1(X_1)]\Pr[Y_2 = f_2(X_2)] $

Aquí mostramos que la función de la variable aleatoria independiente sigue siendo independiente

Answer 4

Añadiré aquí otra prueba, el análogo continuo de la prueba de Fang-Yi Yu:

Supongamos que $Y_1$ y $Y_2$ son continuos. Para los números reales $y_1$ y $y_2$ podemos definir:

$S_{y_1} = \{{x_1: g(x_1)\le y_1} \}$ y

$S_{y_2} = \{{x_2: h(x_2)\le y_2} \}$ .

Podemos entonces escribir la función de distribución acumulativa conjunta de $Y_1$ y $Y_2$ como:

\begin {eqnarray*} F_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2}) & = & P(Y_{1} \le y_{1},Y_{2} \le y_{2}) \\ & = & P(X_{1} \in S_{y_{1}},X_{2} \in S_{y_{2}}) \\ & = & P(X_{1} \in S_{y_{1}})P(X_{2} \in S_{y_{2}}) \end {eqnarray*}

Entonces la función de densidad de probabilidad conjunta de $Y_{1}$ y $Y_{2}$ está dada por:

\begin {eqnarray*} f_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2}) & = & \frac { \partial ^{2}}{ \partial y_{1} \partial y_{2}}F_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2}) \\ & = & \frac {d}{dy_{1}}P(X_{1} \in S_{y_{1}}) \frac {d}{dy_{2}}P(X_{2} \in S_{y_{2}}) \end {eqnarray*}

Dado que el primer factor es una función sólo de $y_{1}$ y la segunda es una función sólo de $y_{2}$ entonces sabemos que $Y_{1}$ y $Y_{2}$ son independientes (recordemos que las variables aleatorias $U$ y $V$ son variables aleatorias variables aleatorias si y sólo si existen funciones $g_{U}(u)$ y $h_{V}(v)$ tal que para cada real $u$ y $v$ , $f_{U,V}(u,v)=g_{U}(u)h_{V}(v)$ ).