¿Es primer de $(x^3-x^2+2x-1)$de % de $\mathbb{Z}/(3)[x]$?

Question

Esto es un poco de un seguimiento a esta pregunta: ¿por Qué es $(3,x^3-x^2+2x-1)$ no principal en $\mathbb{Z}[x]$?

Tengo curiosidad, es $\mathbb{Z}[x]/I$ un dominio, con $I=(3,x^3-x^2+2x-1)$? Sé $I$ no es principal. También, me tomó de la secuencia de epimorphisms $$ \mathbb{Z}[x]\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}\bar{\mathbb{Z}}[x]\stackrel{\pi}{\longrightarrow}\bar{\mathbb{Z}}[x]/\bar{I} $$ donde $\bar{I}=(\bar{x}^3-\bar{x}^2+\bar{2}\bar{x}-\bar{1})$ es la imagen de $I$$\bar{\mathbb{Z}}:=\mathbb{Z}/(3)$. Dado que el núcleo de $\pi\circ\varphi=I$, sé que $\mathbb{Z}[x]/I\simeq\bar{\mathbb{Z}}[x]/\bar{I}$. El último es un anillo de $27$ elementos, pero no quiero ir a través y verificar por que es un dominio. Sé que es un dominio iff $\bar{I}$ es primo, pero no puedo decir si es o no lo es. ¿Cómo puedo eficiente decir si $\bar{\mathbb{Z}}[x]/\bar{I}$ es un dominio? Gracias.

Answer 1

Sea $F$ el campo con elementos de #% de #% %. $3$ Es un dominio de factorización única, un % ideal principal $F[x]$ser prime es equivalente a $(f)$ ser irreducible. En su caso $f$ es un polinomio cúbico, por lo que ser irreducible equivale a no tener ninguna raíz en $f$. Chequeen los tres valores: $F$, $f(0)=-1$ y $f(1)=1$ (todos modulo $f(2)=1$). Así $3$ es irreducible y el ideal que genera es primo.