Cómo mostrar que para cualquier número real $x,y,z$ $|x|+|y|+|z|\le|x+y-z|+|y+z-x|+|z+x-y|?$

Question

Cómo mostrar que para cualquier número real $x,y,z$% $ $$|x|+|y|+|z|\le|x+y-z|+|y+z-x|+|z+x-y|?$

Soy no sé cómo dividir el lado derecho.

Answer 1

Escriba $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$. Entonces la siguiente desigualdad equivalente es clara.

$$|a+b|+|b+c|+|c+a|\le 2|a|+2|b|+2|c|$$

Answer 2

Por la desigualdad de triángulo, las sumas de dos en dos, de los términos del lado derecho son $\ge$, respectivamente, que $2|y|$, $2|z|$ y $2|x|$.