Actualmente estoy leyendo On Numbers and Games , de John H. Conway, pero sin una buena comprensión de la inducción o recursión transfinita, el progreso es muy lento.
¿Cuál es un buen recurso para aprender este tema? Estoy buscando algo que enfatice la inducción y / o recursión transfinita con respecto a las relaciones bien fundadas arbitrarias, en lugar de enfocarse exclusivamente en ordenamientos de pozos.
No he visto el libro de Conway, así que no sé si esto será útil. Pero la "Teoría de conjuntos para el matemático de trabajo" de Ciesielski tiene numerosas aplicaciones interesantes de inducción transfinita para establecer un análisis real teórico. Cuando se combina con el libro de Hajnal y Hamburger, me gusta pensar que esto podría ser un primer curso realmente interesante en teoría de conjuntos para estudiantes de pregrado.
Sería suficiente un par de ejemplos? A mí me parece que no hay mucha diferencia en cuanto al uso de la costumbre de inducción sobre los naturales.
La inducción en un transfinito, pero aún así-conjunto ordenado $X$
Usted está demostrando la proposición $P$ por cada $\alpha\in X$. Usted necesita para comprobar $P(\alpha_0)$ para los primeros elementos de la $\alpha_0$$X$. Y, a continuación, la inducción es completado por mostrar que si asumimos $P(\alpha)$ por cada $\alpha<\beta$$P(\beta)$.
Ejercicio (si no me estoy olvidando de algo): Demostrar que si el (la totalidad) conjunto ordenado $X$ (de cualquier cardinalidad) satisface la inducción, a continuación, todos los no-vacío subconjunto tiene un primer elemento. Mostrar a la inversa también.
Inducción sobre un bien fundado set $X$
Tomemos un ejemplo en el que $X$ es todavía contables, pero no importa demasiado. Supongamos $X$ es indexado por $\mathbb{N}^2$. $X:=\{a_{n,m}\}$, donde el fin de $\mathbb{N}^2$ por el sistema de orden, es decir, $(a,b)\leq(c,b)$ fib $a\leq c$$b\leq d$.
Podría probar a $P$ para todos los elementos de a $X$ si de verificación: 1. $P(a_{0,0})$ 2. $P(a_{n,m})$ implica $P(a_{n+1,m})$ $P(a_{n,m})$ implica $P(a_{n,m+1})$.
¿Esto se aclara? ¿Necesitas más ejemplos concretos?
Respuesta a la pregunta en los comentarios:
Pregunta 1:
El punto de $2$ estaría mejor escrito (y debería/podría haber sido escrito demasiado arriba) "Si $P(\alpha,\beta)$ por cada $(\alpha,\beta)<(\alpha_0,\beta_0)$$P(\alpha_0,\beta_0)$." Recordar el cómo nos ordenó a los pares. el supuesto es, en este caso, que es cierto para $\alpha_<\alpha_0$$\beta<\beta_0$.
Pregunta 2:
Ejemplo: Supongamos que queremos definir las secuencias de $a_{n,m}$por:
Es de inducción ¿qué le dice a usted este secuencias están definidas para todos los $\mathbb{N}^2$.
Ejercicio: Tome la proposición $P(n,m)$ a "a_{n,m} se define" y demostrar por inducción que el anterior. (note que "bien definido" aquí es un problema diferente, ya $a_{1,1}$ puede ser definida usando $F(a_{1,0})$$G(a_{0,1})$. Sólo estamos demostrando que se puede ser definido. Para llegar bien definido necesitamos para imponer más condiciones en el $F$$G$).
Bonus info: Inducción sobre los reales
Si $X=[0,\infty)$ y
a continuación, $P$ es verdadera en todos los de $X$.
Esto es equivalente a la anidados cerrado intervalos de propiedad, teorema de Lagrange, el teorema de Rolle, ...
Así, de la misma forma en que casi todos los probables declaraciones acerca de los productos naturales puede ser demostrado por inducción, también casi todos (los que involucran la continuidad de los reales) probable declaraciones sobre los reales puede ser demostrado por esta inducción así.
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