Explicación intuitiva de la exponencial de Doleans del movimiento browniano

Question

Una simple EDS se da como: $$dX_t=\sigma X_tdW_t$$ La lema de Ito confirma que la siguiente es una solución: $$X_t=X_0e^{\sigma W_t-\frac{1}{2}\sigma^2t}$$

Entiendo cómo este resultado es correcto según la lema de Ito, pero no veo por qué tiene sentido que esté allí el $-\frac{1}{2}\sigma^2t$.

Por ejemplo: Supongamos que sucede algo muy improbable, a saber, $W_t=0$ en algún intervalo $t\in[0,a]$. Sé que esto casi con seguridad no sucederá, pero supongámoslo de todos modos (creo que la misma conclusión debería aplicarse si $W_t$ simplemente permanece muy cerca de $0$).

Entonces tenemos una situación donde $dW_t = 0$ en este intervalo, y por lo tanto $dX_t=\sigma X_t*0=0$ en este intervalo. Por lo tanto, $X_t$ debería permanecer constante en este intervalo.

Sin embargo, tenemos que $X_a=X_0e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 * a}

Si abandonamos la suposición de que $W_t$ es exactamente igual a $0$, pero asumimos que fluctúa extremadamente cerca de $0$ durante un tiempo relativamente largo, entonces seguimos obteniendo el resultado aparentemente incorrecto de que $X_t$ disminuye a cero con el tiempo.

¿Cómo explicamos esto?

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Déjame formular mi pregunta en términos menos técnicos: Si el cambio de $X$ depende solo del cambio de la marcha browniana $W$, ¿por qué $X$ va a cero con el tiempo según un factor $e^{-\frac{1}{2}\sigma^2}$, independientemente de cómo se mueva la marcha browniana? es decir, sin importar lo cerca que se mantenga la marcha browniana de cero, $X$ aún se mueve de manera exponencialmente rápida hacia cero.

Answer 1

La primera ecuación que has escrito, es decir, $$ dX_t = \sigma X_t dW_t \tag{1}$$ es simplemente una forma conveniente, pero informal, de denotar la ecuación integral correspondiente, no tiene una comprensión adecuada aparte de eso. Sin entrar en soluciones fuertes versus débiles (que tienen que ver con los espacios de probabilidad en los que se definen los procesos), decimos que $X_t$ resuelve $(1)$, con la condición inicial $x\in \mathbb{R}$, si satisface $$X_t = x + \int_0^t \sigma X_sdW_s \tag{2}$$ para todo $t \geq 0,$ casi seguramente. Es decir, las soluciones a la ecuación diferencial solo se consideran válidas en un conjunto de probabilidad uno, por lo que la situación que estás describiendo es irrelevante. Además, es incorrecto pensar en $dX_t(\omega)$ como una pendiente de camino, es simplemente una abreviatura notacional.

Answer 2

La fórmula de Ito en forma diferencial es $$df(t,x) = f_t dt + f_x dW + \frac{1}{2} f_{xx} dt$$, consideremos una situación simple en la que $f=f(x)$, denotemos $g:=f_x$, se obtiene, en forma integral $$I_{Riemann} := \int_0^{W(T)} g(x)dx = \int_0^Tg(W(t))dW(t) + \frac{1}{2} g_x(W(t))dt := I_{Ito} + \Delta$$ donde $\Delta$ es el ajuste de la integral de Riemann a Ito, o, $I_{Ito} = I_{Riemann} - \Delta$.

Entonces ahora la pregunta es, ¿de dónde proviene $\Delta$?

Simplifiquémoslo más tomando $g(x) = x$, entonces $$I_{ito} = \int_0^T W(t)dW(t) = I_{Riemann} - \Delta = \int_0^{W(T)} x dx - \frac{1}{2}T = \frac{1}{2} W^2(T) - \frac{1}{2} T$$ , ¿cómo podemos ver intuitivamente que $\Delta = \frac{1}{2}T$?

Sea $t\in [0,T]$ dividido en $n^2$ pasos, correspondientemente, $x\in [0,W(T)]$;

cada $n$ pasos lo llamamos un marcha, en la marcha número $k$, $x$ se mueve desde $[W(T/n*k)$ hasta $W(T/n*(k+1))]$;

en cada marcha, hay un paso que completa este movimiento, mientras que el resto de los $n-1$ pasos son solo oscilación;

además asumimos que hay $(n-1)/2$ veces de oscilación, cada oscilación contiene 2 pasos, uno hacia afuera y uno hacia atrás;

cada paso se mueve $s$, entonces $s\sim N(0,\sqrt{T}/n)$.

Ahora, debido a la definición de la integral de Ito (similar a una suma de Riemann, para cada intervalo de tiempo $[t_1, t_2]$, se toma $W(t_1)*(t_2-t_1)$ como la contribución) la oscilación causó una pérdida:

La pérdida de una oscilación es $s^2$, $$E[s^2] = Var(s) = T/n^2$$

Entonces la pérdida total es $$\Delta = \lim_{n\mapsto \infty} n\cdot \frac{n-1}{2} E[s^2] = \frac{1}{2}T$$, voilá.

Entonces, mi comprensión intuitiva es que la integral de Ito está en el dominio del tiempo ($t$), mientras que la integral de Riemann normal está en el dominio del valor de la variable aleatoria ($x$ o $W(t)$), la función de movimiento Browniano tiene tantas oscilaciones que la pérdida no puede ser ignorada, el ajuste es el $\frac{1}{2}f_{xx}dt$ en la fórmula de Ito.

Answer 3

Cuando se trata de las Movimientos Brownianos Geométricos, uno debe considerar el hecho principal subyacente del álgebra de Ito, es decir, el hecho de que el movimiento Browniano ($W(t)$) acumula variación cuadrática a una tasa de uno por unidad de tiempo. Informalmente:

$$ dW_t dW_t = dt. $$

Esto significa que, al calcular la diferencial $df(t, x)$, donde $x=W(t)$, la expansión de Taylor de dicha función devuelve una diferencial de segundo orden no nula asociada con la segunda derivada pura con respecto a $W(t)$, es decir:

$$ df(t, W(t)) = f_t dt + f_{x}dx +\frac{1}{2}f_{xx}dt = -\frac{1}{2} \sigma^2X_tdt + \sigma X_tdW(t) + \frac{1}{2} \sigma^2X_tdt, $$

donde $x=W(t)$ y el término $\frac{1}{2}f_{xx}dt = \frac{1}{2} \sigma^2X_tdt$ es el término que se debe a la variación cuadrática del movimiento Browniano $W(t)$.

Volviendo al Movimiento Browniano Geométrico

$$ X_t=X_0e^{\sigma W(t)-\frac{1}{2} \sigma^2t}, $$

ahora está claro cómo el término $-\frac{1}{2} \sigma^2X_tdt$ compensa la variación cuadrática de $W(t)$, de modo que el GBM puede ser sin deriva, es decir, con su diferencial siendo un martingala.