Resolución Pell ' ecuación s (o cualquier otra ecuación de diophantine) a través de la aritmética modular.

Question

Tomemos una solución de la ecuación de Pell ($x^2 - my^2 = 1$) y tomar cualquier % primer $p$. Entonces hemos encontrado una solución de Pell ecuación mod $p$.

Ahora, por el contrario, cualquier % primer $p$, podemos encontrar una solución de la ecuación de Pell. Mi pregunta es si podemos utilizar estas soluciones mod $p$ para crear una solución en los enteros.

Answer 1

Sobre el tema general de la que se derive la existencia de soluciones a través de $\Bbb Q$ a partir de soluciones modulo cada primer vale la pena recordar el clásico teorema de la Teoría de los números que va bajo el nombre de Hasse del Principio de que una forma cuadrática $$ F(X_1,..X_n)=\sum_{1\geq i\geq j\geq n}a_{ij}X_iX_j\en\Bbb Q[X_1,...,X_n] $$ representa a $0$ (es decir, admite que no trivial de la solución de $F(X_1,..X_n)=0$$\Bbb Q^n$) si y sólo si representa a $0$ $\Bbb R$ y todos los $p$-ádico campos de $\Bbb Q_p$.

A su vez, para ir de una solución de mod $p$ a una solución en $\Bbb Q_p$ uno tiene que aplicar Hensel del Lexema.

Cuenta, sin embargo, que las pruebas no son constructivas. E. g., ver Serre el libro de Un Curso de Aritmética, Springer GTM 7.

Estos resultados generales que se aplican a la ecuación de Pell, porque uno puede homogeneizar, es decir, la resolución de $X^2-mY^2=1$ es equivalente a encontrar una representación de $0$ de $$ X^2-mi^2-Z^2. $$ Sin embargo, no son muy concluyentes, en el sentido de que no permiten decir que no existen soluciones de la ecuación de Pell diferente de la trivial, es decir,$X=\pm1$, $Y=0$.

Answer 2

Cada $p$, ecuación de Pell tendrá muchas soluciones modulo $p$. Wil allí haber una manera de decir qué solución mod una privilegiada acerca de los partidos hasta con qué solución modulo otra, así que no podrás utilizar el Teorema chino del resto para unir las soluciones.