Problemas de matemáticas que son imposibles de resolver

Question

Recientemente he leído acerca de la imposibilidad de trisecting un ángulo con la brújula y el borde recto y su fascinante ver como un juego aparentemente sencillo problema que es imposible de resolver. Me preguntaba si hay más de esos problemas como estos que han demostrado ser imposible de resolver.

Answer 1

La prueba que demuestra la imposibilidad de trisecting un ángulo utiliza la teoría de Galois. Galois teoría también puede ser utilizado para mostrar que ciertos polígonos no se pueden construir con regla y compás, y fue originalmente utilizado para mostrar que, en general, los polinomios de grado $\geq 5$ no son resolubles.

Para ser más específicos, un $n$-gon es edificable mediante regla y compás $\displaystyle \iff n = 2^k \prod_{r=1}^m p_r$ $k, m \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ e las $p_r$'s distintos de los números primos de Fermat.

Sin entrar en demasiado detalle, la teoría de Galois es un subconjunto de álgebra abstracta, que reúne a los conceptos de teoría de grupos y teoría de campo, comenzando con la observación de que el grupo de automorfismos de un campo forma un grupo. En cualquier caso, estoy seguro de tu nivel de fondo, así que sólo voy a publicar un par de enlaces a Wikipedia para abrir el apetito si usted está interesado:

• La teoría de Galois
• Grupos
• Campos
• Automorfismos

Por supuesto, hay muchas, muchas respuestas a tu pregunta, así que voy a dejar mi post y dejar que los demás tienen la oportunidad de publicar más.

Answer 2

Es imposible encontrar un número racional cuyo cuadrado es 2.

Answer 3

Esta respuesta requiere un poco de fondo, pero creo que vale la pena. Por favor tengan paciencia conmigo! Si ya tienes los conocimientos necesarios, puede saltar a la última sección de la línea de golpe.

---

La superficie de un dulce bollo y la superficie de un donut son dos ejemplos de dos dimensiones de los colectores: geométricas de los espacios que se parecen a los aviones de cerca. Una hormiga sentado en un dulce bollo y una hormiga sentado sobre una rosquilla de ver la misma cosa: una vasta extensión de acristalamiento de pastelería de estiramiento apagado en la distancia.

A pesar de no tener muy buenos ojos, las hormigas tienen la capacidad de dejar complicado olor caminos para andar. El uso de esta capacidad, incluso la más pequeña hormiga puede decir la diferencia entre un dulce bollo y un donut. Una de las maneras más sencillas de hacer esto es establecer senderos que dividen la superficie en polígonos, el recuento de los vértices, aristas y caras, y calcular la característica de Euler. Con esta técnica, la hormiga puede identificar no sólo un dulce bollo o una rosquilla, pero cualquier pastelería con una superficie de dos dimensiones. (Para asegurarse de que la hormiga no tiene que caminar para siempre, vamos a suponer que la masa es compacta, es decir, finito en extensión. Si el hojaldre es infinito en extensión, la hormiga debe probablemente a la conclusión de que ella ha muerto y se ha ido a la hormiga del cielo.)

Para decirlo más técnicamente, no hay un algoritmo que una hormiga puede utilizar para identificar cualquier compacto de dos dimensiones múltiples.

---

También hay colectores de otras dimensiones. Una de tres dimensiones múltiples, por ejemplo, es un espacio geométrico que se parece a un espacio tridimensional Euclidiano de cerca. Nuestro espacial universo es un ejemplo clásico de una de tres dimensiones múltiples. (En nuestro mejor los modelos cosmológicos actuales, es el más aburrido: un espacio tridimensional Euclidiano sí mismo. Sin embargo, no tiene que ser de esa manera. Si la densidad del universo era un poco más alto, el espacio sería acurrucado en la versión tridimensional de una esfera. Mark Peterson ha argumentado, sorprendentemente convincente, que el universo se describe en Dante , la Divina Comedia, tiene exactamente de esta forma.)

---

Usted puede adivinar que una inteligente hormiga debe ser capaz de identificar un compacto colector de cualquier dimensión por la que se establecen aroma para esquí de fondo, tal vez usando una versión más sofisticada de la técnica que vimos de dos dimensiones de los colectores. Pero estaría equivocado!

En 1960, Andrei Markov Jr. demostró que para $n \ge 4$, no hay ningún algoritmo que una hormiga puede utilizar para identificar cualquier compacto $n$-dimensiones múltiples.

La razón es que una hormiga que pudiera identificar a cualquier compacto de cuatro dimensiones del colector también sería capaz de identificar cualquier finitely presentado el grupo, y una hormiga que podría hacer que sería capaz de resolver la paralización problema! James van Medidor tiene una maravillosa exposición de la prueba que, a pesar de que inevitablemente requiere un poco de conocimiento de álgebra abstracta y topología algebraica.

Hemos visto que el compacto de dos dimensiones de los colectores pueden ser identificados a través de algoritmos, pero compacto colectores de dimensión cuatro y superior no puede ser. ¿Qué acerca de compacto de tres dimensiones de los colectores? Como lo que yo puedo decir, no sabemos! Nuestra hormiga amigo sin duda puede identificar a algunos de ellos, si ella está dispuesta a cargar con este libro, pero nunca he oído hablar de un algoritmo que funciona en general. Si alguien que sepa más acerca de la topología de baja dimensión podría pesar de esto, realmente lo apreciaría.

Answer 4

La construcción de un algoritmo para resolver cualquier ecuación de Diophantine ha sido demostrado ser equivalente a la resolución de la suspensión problema, como es la computación de la complejidad de Kolmogorov (óptimo tamaño de compresión) de cualquier entrada dada, cualquiera sea el universal lenguaje de descripción.

En general creo que lo que estás buscando es cualquiera de los problemas que están demostrado ser equivalente a la detención problemao problemas que son formalmente independientes, por ejemplo, de ZFC, tales como la Hipótesis continua o, más generalmente, Gödel los teoremas de incompletitud.

Answer 5

Uno de los problemas que más me gusta es el Puente de Konigsberg problema.

El reto es encontrar un camino que cruza cada puente exactamente una vez.

Fue finalmente resultó ser imposible por Euler y es considerada una de las primeras aplicaciones de la teoría de grafos.

http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg