$\mathbb Z$ base del módulo $\mathbb Z [\zeta]$

Question

Dado un $n$ -raíz de la unidad $\zeta$ Considere la $\mathbb Z$ -Módulo $M := \mathbb Z[\zeta]$ .

1. ¿Tiene este módulo un nombre especial?
2. ¿Existe una base para cada $n$ ? Y si es así, ¿existe un algoritmo para encontrar una base dada una $n$ ?

Estaba jugando con esto, y me di cuenta de que para $n=3$ tenemos, por ejemplo, la base $(1,\zeta)$ porque $1+\zeta = -\zeta^2$ . Para $n=4$ obviamente tenemos la base $(1,i)$ pero no he podido generalizarlo para un $n$ .

Answer 1

No sé si lo consideras un nombre especial, pero el anillo $\mathbb{Z}[\zeta]$ es el anillo de enteros para el campo numérico $\mathbb{Q}(\zeta)$ . Esto es (OMI, de todos modos) un hecho no trivial, pero se puede encontrar su prueba en Neukirch (ver más abajo), o (para el caso $n$ primo) en la "Teoría Algebraica de los Números" de Samuel. este enlace también podría serle útil. Correspondientemente, es gratuito como $\mathbb{Z}$ -y su rango viene dado por el grado $[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}] = \varphi(n)$ , donde $\varphi$ es la función totiente de Euler. La base para $\mathbb{Z}[\zeta]$ como $\mathbb{Z}$ -está dado por $1, \zeta, \zeta^{2}, \ldots, \zeta^{d-1}$ , donde $d = \varphi(n)$ . Como referencia, véase ''Algebraic Number Theory'' de Neukirch, página 60, Proposición 10.2.

Answer 2

El anillo $\mathbb Z[\zeta]$ se llama el anillo de enteros ciclotómicos .