Prueba $f(c) = c$ bajo una condición.

Question

Supongamos $f(x)$ es continua en a$[0,1]$$f(0) = 1, f(1) = 0$. Demostrar que existe un punto de $c$ $(0, 1)$ tal que $f(c) = c$.

---

deje $l(x) = x$$d(x) = f(x) - l(x)$.

Tenemos $d(1) = f(1) - l(1) = -1$ y $d(0) = 1$.

Dividimos $[-1, 1]$ $H$ a partes iguales , donde $H$ es un infinito hyperinterger.

$$-1, -1 + \delta, -1 + 2\delta, \ ... \ , -1 + H\delta = 1$$

Deje $-1 + K\delta$ ser la última partición punto tal que $d^*(-1 + K\delta) < 0$

$$\therefore d^*(-1 + K\delta) < 0 < d^*(-1 + (K+1)\delta)$$

$$\therefore f^*(-1 + K\delta) < -1 + K\delta < f^*(-1 + (K+1)\delta) - \delta$$

Desde $f^*(-1 + K\delta) \approx f^*(-1 + (K+1)\delta) - \delta$, por lo $f^*(-1 + K\delta) \approx -1 + K\delta$

Deje $c = st(-1 + K\delta)$

Por tomar parte estándar de la $f^*(-1 + K\delta) \approx -1 + K\delta$ , obtenemos $f(c) = c$.

---

• Creo que esto es probablemente correcto, pero para estar en el lado seguro, por favor revise mi prueba.

Answer 1

Llame$d(x)=f(x)-x$ luego$d(0)=1$ y$d(1)=-1$, así que por el Teorema de Bolzano hay un número$c\in(0,1)$ tal que$d(c)=0$.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\st}{st}$Esta es la correcta y el enfoque habitual para demostrar el teorema del valor intermedio (y por lo tanto esta pregunta) bajo análisis no estándar.

La idea fundamental es si $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ es una función continua y $u\in\mathbb{R}$ satisface $f(a)<u<f(b)$ (o $f(b)<u<f(a)$), a continuación, hay un $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=u$. Por qué? $[a,b]$ tiene un subconjunto finito $F$ que contiene sus elementos estándar y por lo tanto la definición de $x=\min\{x'\in F:u\leq f(x')\}$ da $c=\st(x)$ $f$ fue continua. Esto es un poco más general que la idea que usted utiliza cuando se proporciona un conjunto particular $F$ (que en realidad da una simplificación de la prueba), pero la idea es la misma.