No estoy seguro de si la regla de Cramer se utiliza para el cálculo. Su ayuda significaría mucho. Gracias.
Eso sólo si el deteminante es informático por definición. También puede calcularse por descomposición LU, en cuyo caso la complejidad sería $O(n^4)$ .
Por la tangente: ¿hay alguna diferencia entre $O(n! \times n)$ y $O(n!)$ ? Estoy pensando $O(n! \times n) \approx O((n+1)!) \approx O(n!)$ ?
Reducir la matriz a la forma triangular y multiplicar los elementos en la diagonal suele ser más rápido. Estoy bastante seguro de que ese es el algoritmo que utilizan la mayoría de los sistemas de álgebra computacional, a menos que se sepa de antemano que la matriz tiene algunas propiedades especiales. A veces la expansión de Laplace puede ser más rápida si la matriz tiene muchos ceros a lo largo de algunas filas/columnas.
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No. Consulta algún libro de análisis lineal, como Load o Kincaid.
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Tiene una importancia más bien teórica. Se utiliza para demostrar algunos teoremas en álgebra lineal.
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Véase este también.
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La regla de Cramer suele ser útil para matrices pequeñas de tamaño fijo, como 3x3. Yo la utilizo de vez en cuando en trabajos de infografía.
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En realidad, yo iría un paso más allá de "no utilices la regla de Cramer". Si estás calculando el determinante o la inversa de una matriz como parte de un algoritmo mayor, es decir casi siempre algo malo que hacer. Las fórmulas matemáticas que utilizan matrices inversas suelen tener un aspecto limpio, pero eso no significa que sean la mejor manera de calcular algo.
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Desde luego, si estás resolviendo un sistema de dos ecuaciones ;)