¿Puede simplificarse esta suma a una forma cerrada?

Question

$$\sum_{a=1}^{L} L\left\lfloor\frac{(L-a)b}{L}\right\rfloor^2$$

$L,b$ son números enteros positivos conocidos. ¿Puede reducirse a una forma cerrada? Mathematica no me ayuda mucho aquí.

Answer 1

Considere esta suma, como usted ha mencionado:

$$ \sum_{a=1}^L L\left\lfloor\frac{(L-a)b}{L}\right\rfloor^2 = \sum_{a=1}^L L(\frac{(L-a)b}{L})^2 = L\sum_{a=1}^L (\frac{(L-a)^2b^2}{L^2}) = \frac{1}{L}\sum_{a=1}^L ((L-a)^2b^2) = \frac{1}{L}\sum_{a=1}^L ((L-a)^2b^2) = \frac{b^2}{L}\sum_{a=1}^L (L-a)^2 $$

Quizá la expresión restante pueda simplificarse aún más...

EDITAR(!!!):

Pensaba que eran paréntesis, pero al parecer es la función suelo, por lo tanto, la suma no se puede simplificar más de lo que la has escrito...

Answer 2

$$\sum_{a=1}^{L}L\left\lfloor\frac{(L-a)b}{L}\right\rfloor^2=L\sum_{a=0}^{L-1}\left\lfloor\frac{ab}{L}\right\rfloor^2\le \frac{b^2}L \sum_{a=0}^{L-1}a^2=\frac{b^2(L-1)(2L-1)}{6}$$ y $$> L\sum_{a=0}^{L-1}\left(\frac{ab}{L}-1\right)^2=L\sum_{1=0}^{L-1}\left(\frac{b^2a^2}{L^2}-\frac{2ab}{L}+1\right)=\frac{b^2(L-1)(2L-1)}{6}-bL(L-1)+L^2$$