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Encuentra el número de ceros polinómicos de $z^4-7z^3-2z^2+z-3=0$ .

Encuentre el número de soluciones de $$z^4-7z^3-2z^2+z-3=0$$ dentro del disco de la unidad.

El teorema de Rouche falla obviamente. ¿Hay algún otro método que pueda ayudar?

He conocido la respuesta mediante Matlab, pero tengo que demostrarla mediante un análisis complejo.

Gracias.

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¿No podría resolverse con el álgebra?

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Lo siento, estoy preparando un examen de análisis complejo.

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Debe ser $-2z^2$ ?

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fianchetto Puntos 186

Dejemos que $f(z)=z^4-7z^3-2z^2+z-3$ y $g(z)=-7z^3$ . Entonces, para $\lvert z\rvert=1$ , $$ \lvert\, f(z)-g(z)\rvert=\lvert z^4-2z^2+z-3\rvert <7=\lvert -7z^3\rvert=\lvert g(z)\rvert. $$ El teorema de Rouche establece que $f$ posee exactamente 3 raíces dentro del disco de la unidad.

Lo único que hay que comprobar es que $\lvert z^4-2z^2+z-3\rvert <7,$ que se mantiene ya que tenemos el " $\le$ ", y la única manera de tener " $=$ " es si cada término en $z^4-2z^2+z-3$ es negativo, lo cual es imposible.

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Sahas Katta Puntos 141

Tenga en cuenta que $|z^4-2z^2+z-3|<7$ si $|z|=1$ . La desigualdad del triángulo sólo dice " $\leq$ "pero la igualdad sólo puede darse si $z^4$ , $-2z^2$ , $z$ y $-3$ todos tienen el mismo argumento. Así que basta con comprobar $z=-1$ .

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