Simplificando esta expresión $(e^u-1)(e^u-e^l)$

Question

¿Es posible escribir lo siguiente
$$(e^u-1)(e^u-e^l)$$
como
$$e^{f(u,l)}-1?$$

Answer 1

Sí, es posible. Defina $$f(u,l) = \log(1+(e^u-1)(e^u-e^l))$$ Entonces tenemos $$e^{f(u,l)}-1 = (e^u-1)(e^u-e^l)$$

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Lo anterior es válido/definido siempre que $(e^u-1)(e^u-e^l) > -1$ .

Answer 2

La primera expresión se evalúa como $e^{2u}-e^u-e^l+1$ Así que si tu pregunta es si hay alguna manipulación algebraica que lleve esto a la forma de una exponencial menos $1$ en general $l,u$ entonces la respuesta es no.

De hecho, el rango de la función $x\mapsto e^x-1$ en $\Bbb R$ es $(-1,\infty)$ y el producto de dos valores en ese rango puede estar fuera del rango si uno es negativo y el otro suficientemente grande. Por ejemplo, para $u=-1,l=10$ su producto será mucho menor que $-1$ por lo que no se puede escribir como $e^x-1$ para cualquier número real $x$ . Es posible que quiera evitar esto utilizando números complejos para $f(u,l)$ pero entonces considera el ejemplo $u=-\ln2,l=\ln3$ para el que tiene $e^u-1=-\frac12$ y $e^l-1=2$ , por lo que el producto $(e^u-1)(e^l-1)$ es $-\frac12\times2=-1$ que no es un valor $e^x-1$ incluso para $x\in\Bbb C$ Así que esto demuestra que no se puede definir $f$ para argumentos generales $u,l$ en absoluto.