Extremar una función sujeta a una restricción de igualdad

Question

La pregunta en cuestión es:

Dejemos que $y\in\cal C^2([0,\pi])$ satisfaciendo $y(0)=y(\pi)=0$ y $\int_0^\pi y^2(x)dx=1$ extremar el funcional $$J(y)=\int_0^\pi\left(y'(x)\right)^2dx$$

Es un MCQ, y a partir de las opciones que utilizan las condiciones iniciales, podría deducir fácilmente que las soluciones son $y(x)=\pm\sqrt{2\over\pi}\sin x$ (las otras dos opciones incorrectas son $y(x)=\pm\sqrt{2\over\pi}\cos x$ .

Pero Euler-Lagrange (único método que conozco para encontrar los extremos de las funcionales) me lleva a $2y''(x)=0$ . ¿Qué me falta/cómo resolverlo directamente?

Answer 1

Desde $C^2(0,\pi)\subset L^2(0,\pi)$ podemos suponer que $$ y(x) = \sum_{n\geq 1} a_n \sin(nx) \tag{1}$$ se mantiene, con la restricción $\sum_{n\geq 1}a_n^2 = \frac{2}{\pi}$ dado por el teorema de Parseval. También da: $$ \int_{0}^{\pi}y'(x)^2\,dx = \frac{\pi}{2}\sum_{n\geq 1}n^2 a_n^2\color{red}{\geq} \frac{\pi}{2}\sum_{n\geq 1}a_n^2 = 1\tag{2} $$ y la igualdad se mantiene si $a_n=0$ por cada $n\geq 2$ por lo que las únicas funciones extremas son $\color{red}{\pm\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(x)}$ .

Esto es sólo una instancia de La desigualdad de Wirtinger .

Answer 2

Una pista: Usted tiene $F(x,y,y')=(y'(x))^2$ y $\int_{a}^{b}G(x,y,y')dx=\int_{0}^{\pi}y^2(x)dx=1...(*)$ . Ahora resuelve esto $$F_y+\lambda G_y-\frac{d}{dx}(F_y'+\lambda G_y')=0.$$ Una vez que obtenga el $y(x)$ , sustituye de nuevo a $(*)$ . Entonces obtendrás el resultado después de la simplificación.

Resultado: Dada la función $J(y)=\int_{a}^{b}F(x,y,y')dx.$ Que las curvas admisibles cumplan la condición $y(a)=A$ y $y(b)=B$ , $K(y)=\int_{a}^{b}G(x,y,y')dx=l$ donde $K(y)$ es otro funcional y deja que $J(y)$ tiene un extremo para $y=y(x)$ entonces si $y=y(x)$ no es un extremo de $K(y)$ existe una constante $\lambda$ tal que $y=y(x)$ es un extremo de la función $\int_{a}^{b}(F+\lambda G)dx$ es decir $y=y(x)$ satisface $F_y+\lambda G_y-\frac{d}{dx}(F_y'+\lambda G_y')=0.$

Answer 3

El funcional aumentado es

$$\displaystyle\int_0^{\pi} \left( (y' (x))^2 + \lambda y^2 (x) \right)\mathrm{d}x$$

La ecuación de Euler-Lagrange nos da la EDO de 2º orden

$$y'' (x) = \lambda \, y (x)$$

cuya solución es de la forma

$$y (x) = c_1 \exp (\sqrt{\lambda} \, x) + c_2 \exp (-\sqrt{\lambda} \, x)$$

La condición límite $y (0) = 0$ nos da $c_1 + c_2 = 0$ . Por lo tanto, la solución es de la forma

$$y (x) = \beta \sinh (\sqrt{\lambda} \, x)$$

Sin embargo, la otra condición límite es $y (\pi) = 0$ . Como el seno hiperbólico sólo tiene un cero, entonces $\lambda < 0$ . Así, la solución es de la forma

$$y (x) = \beta \sin (k \, x)$$

La condición límite $y (\pi) = 0$ nos da la restricción de integralidad $k \in \mathbb Z$ . La restricción de igualdad

$$\displaystyle\int_0^{\pi} y^2 (x) \, \mathrm{d}x = 1$$

nos da $\beta = \pm \sqrt{\frac{2}{\pi}}$ . Por lo tanto, la solución es

$$y (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin (k \, x)$$

Evaluar el funcional original,

$$\displaystyle\int_0^{\pi} (y' (x))^2 \, \mathrm{d}x = k^2$$

El funcional se minimiza cuando $k = 0$ que produce la solución cero. Aunque las condiciones de contorno se satisfacen obviamente, la restricción de igualdad no se puede satisfacer. Por lo tanto, el funcional se minimiza cuando $k= \pm 1$ y la función mínima es

$$y (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin (x)$$