Considerar el espacio topológico $X=\omega_1 \times [0,1)\setminus (0,0)$ equipada con el fin de topología que surge a partir de la orden lexicográfico. Quiero mostrar que este espacio es localmente euclídeo. Claramente, para los puntos de $(\alpha,x)$ $x>0$ puedo construir un adecuado homeomorphism. Que también no hay problema por los puntos de $(\beta,0)=(\alpha+1,0)$ donde $\beta$ es un ordinal sucesor. Pero en el caso general, $(\lambda,0)$ donde $\lambda$ es un ordinal límite, no tengo idea. Sin embargo, para el límite especial ordinales como $\omega_0$ trabajaba fuera una prueba, pero no sé cómo generalizar a todos los ordinales límite inferior $\omega_1$.
Aquí está mi homeomorphism para $p=(\omega_0,0)$:
Tomamos $U=\{x\in X \mid x<(\omega_0+1,0)\}$ como abrir barrio de $p$.
$$f:U\to(1,3)$$ $$(n,x)\mapsto x\cdot 2^{-n-1}+\sum_{i=0}^n 2^{-i} \quad\text{for}\quad n\in\mathbb{N}$$ $$(\omega_0,x)\mapsto 2+x \quad\text{else}$$
Creo, que el mapa debe hacerlo.
