¿Qué significa un gradiente en física?

Question

Soy un estudiante de bachillerato en física y he aprendido sobre el término 'gradiente' en algunas situaciones, como los gradientes de presión y temperatura.

Pero, ¿qué significa realmente esto? ¿Cuál es el significado físico de gradiente? Sé que el gradiente de presión es $\frac{dP}{dx}$ y el gradiente de temperatura es $\frac{d\theta}{dx}$. Si tomamos $dx$, por ejemplo, como un número extremadamente pequeño, entonces el gradiente se acerca a un valor muy grande. ¿Qué implica esto? ¡Por favor explícalo en un lenguaje sencillo!

Answer 1

Luché con el concepto yo mismo incluso en cálculo avanzado(las operaciones de gradiente en 2 y 3 dimensiones se desarrollan)... ¡lo cual es un verdadero problema siendo estudiante de meteorología!

Pero un día simplemente comprendí que es tan simple como suena. Es la tasa de diferencia.

Como Gary mencionó, en una dimensión, un gradiente es lo mismo que una pendiente.
Como indicaste, en $\frac{dP}{dx}$, si disminuyes $dx$, matemáticamente parecería estar empujando el resultado hacia valores mayores. Pero en realidad, cuando consideras un $dx$ (distancia) más pequeño, también verás consecuentemente un cambio más pequeño en la propiedad de interés (presión en este caso).
Es exactamente como trabajar con una línea... si tienes una pendiente de $2$, tienes una pendiente de $2$ independientemente de la escala en que la mires. Si observas un cambio más pequeño en $x$ en la línea, digamos $dx = 0.01 \ldots$, entonces los cambios en $y$ siguen el mismo patrón, y $dy$ es simplemente $0.02$. Varían juntos. $\frac{dy}{dx}$ es una proporción.

También me ayudó dar un paso atrás y reconsiderar el concepto/significado/definición de derivadas nuevamente. Recuerda, $dP/dx$ es simplemente $\frac{\Delta P}{\Delta x}$. Excepto aplicado en un punto "instantáneo". Típicamente aún calculamos $\frac{dP}{dx}$ observacionalmente usando $\frac{\Delta P}{\Delta x}$. Es solo que en el mundo real, las cosas por lo general no varían consistentemente (linealmente); algunos puntos tienen un cambio "más rápido" que otros, como el gradiente de temperatura a través de un frente frío. Así que $\frac{\Delta P}{\Delta x}$ no toma en cuenta las variaciones en la pendiente en sí misma, así que transitamos a $\frac{dP}{dx}$ idealmente para perfección. Incluso cuando somos incapaces de obtener un valor perfecto fuera de circunstancias teóricas/derivadas. Pero sigue siendo la misma idea básica de cualquier manera: qué tan "rápidamente" cambia el valor ($P$) en una dirección dada ($x).

Fue frustrante entenderlo. Pero pasa el suficiente tiempo mirando fijamente un mapa del clima o pensando en ello mientras escalas terreno complejo, y creo que realmente comprenderás que no elegimos $dx$, sino que $\frac{dy}{dx}$ es verdaderamente solo una cantidad al igual que una pendiente, vinculando las dos variables juntas. ¡Y estoy seguro de que de repente entenderás innatamente lo que significa un gradiente! (incluso en 2D o 3D... eso solo agrega una dirección en la cual el gradiente cambia)

Answer 2

Gradiente se refiere a qué tan empinada es una línea, que básicamente es la pendiente. $\frac{dP}{dx}$ y $\frac{d\theta}{dx}$ son básicamente la derivada de una función, es decir, su pendiente.

La forma más fácil de determinar la pendiente es graficar la función, luego observar la coordenada x de un punto en el gráfico y su respectiva coordenada y. Si la coordenada y está aumentando a medida que la coordenada x está aumentando, la pendiente /gradiente se dice que es positiva en ese punto y si la coordenada y está disminuyendo a medida que la coordenada x aumenta, la pendiente se dice que es negativa.

Answer 3

Lo que sé de lo básico es que..

Gradiente es una pendiente de una curva en un gráfico en puntos específicos de la curva. Si una curva es lineal, entonces el gradiente permanece constante. Si es una curva, entonces el gradiente varía.

Answer 4

Un gradiente de algo es simplemente una cantidad que cambia con la distancia.

¿Cambia la presión con la distancia? Gradiente de presión

¿Cambia la temperatura con la distancia? Gradiente de temperatura.

¿Cambia la altura de la carretera con la distancia? Gradiente (esto es tan común que omitimos la altura).

La derivada $\frac{dy}{dx}$ en su sentido general se utiliza para describir cómo una cantidad $y$ cambia a medida que variamos $x$. Cuando 'variamos el tiempo' usualmente llamamos a la derivada una tasa. Cuando 'variamos el espacio' generalmente lo llamamos gradiente. En otras palabras, el gradiente es simplemente un nombre específico para la derivada.

Si tomamos el dx, por ejemplo, como un número extremadamente pequeño, entonces el gradiente se acerca a un valor muy grande. ¿Qué implica esto?

Esto no es del todo correcto. Veamos, por ejemplo, un gradiente de presión $\frac{dP}{dx}$. Cuando nos movemos por una cantidad pequeña $\Delta x$, la presión cambiará por una cantidad $\Delta P$. Cuando $\Delta x$ es muy pequeño, $\Delta P$ también será muy pequeño. ¿Qué tan rápido? Bueno, $\Delta P$ generalmente disminuirá de tal manera que la fracción $\frac{\Delta P}{\Delta x}$ se acerca a un valor constante. Si lo hace, llamamos a este valor la derivada $\frac{dP}{dx}$. Aquí hay un ejemplo hipotético donde $\frac{dP}{dx}=2$.

$\Delta x$

$\Delta P$

$\frac{\Delta P}{\Delta x}$

0.1

0.231

2.31

0.01

0.02051

2.051

0.001

0.0020109

2.0109

0.0001

0.0002000763

2.000763

¿Cuándo tiene una función una derivada? Llamamos suave a una función que tiene una derivada en todas partes. Una función es suave cuando no tiene grandes saltos ni bordes irregulares. Una función suave siempre parecerá una línea recta si te acercas lo suficiente. Cosas como la temperatura y la presión casi siempre son suaves. Un contraejemplo sería el valor de una acción en el mercado de valores. El valor de las acciones parece ser irregular y seguirá siendo irregular incluso si te acercas a un punto en particular.