Una función cóncava positiva en $[1,\infty)$ es uniformemente continua

Question

Deje $f$ ser una concavidad positiva de la función en $[1,\infty)$, $f$ es uniformemente continua en a $[1,\infty)$.

Este fue un verdadero o falso problema de que no podía demostrar para ser verdad, así que estoy pensando que tal vez no es un contraejemplo. Yo sé que para $f$ a ser cóncava, a continuación,$f''(x)\lt 0$$[1,\infty)$.

Qué $f(x)=\frac{1}{x-2}$ trabajo como un contraejemplo? $f''(x)=-1\lt 0$ y a las $x=2$ es indefinido, por lo que no sería de manera uniforme continua en el intervalo $[1,\infty)$, ¿verdad?

Uniformemente Continua: Vamos a $E$ ser un subconjunto no vacío de a$\mathbb R$$f:E\to \mathbb R$. El $f$ es uniformemente continua en a $E$ si y sólo si para cada a $\epsilon \gt 0$ no es un porcentaje ($\delta\gt 0$tal que $|x-a|\lt\delta$ $x,a\in E$ implican $|f(x)-f(a)|\lt \epsilon$.

Answer 1

Una sugerencia , siempre que $f$ es de clase $C^1$: suponer sin pérdida de generalidad que $f'(1)$ existe (de lo contrario, reemplace $1$ con cualquier número mayor y recordar que la continuidad en subconjuntos compactos implica uniforme de continuidad), y elige $1 \leq x<y$. Entonces, desde el $f'$ está disminuyendo, $$ f(x)-f(y) = \int_x^y f'(t) \, dt \leq f'(1) (x-y). $$ Intercambiar el rol de las $x$$y$, $$|f(x)-f(y)| \leq |f'(1)| |x-y|,$$ y se concluye fácilmente que el $f$ es uniformemente continua. Yo estaba pensando en una prueba en la mera suposición de concavidad, sin más regularidad, pero se ve un poco más difícil.

Answer 2

Supongamos que $f$ es continua (de lo contrario está mal, obviamente).

Como $f$ es cóncava, $f$ tiene una (tal vez infinito) a la derecha y a la izquierda derivada en cada punto (vamos a utilizar la notación $f'_+ / f'_-$ de estos). Además, esta derivada es decreciente.

En particular, $x>2\implies f'_\pm(x) \le f'_+(2) $. Como $f$ es positivo, $f'_\pm$ sigue siendo positivo porque $$ 0\le f(x+h) \le f'_\pm(x)h + f(x) $$ (tome $h$ lo suficientemente grande).

Esto demuestra que la derivada es acotada en el intervalo de $(2,\infty)$. En el intervalo compacto $[1,3]$ f es uniformemente continua, porque es continua.

Por lo tanto $f$ es uniformemente continua.

Answer 3

Primera parte (contador)ejemplos.

a) $f$ no necesita ser continua en $1$. Considere la función cóncava $f(1)=0$, $f(x)=1$, $x>1$.

b) Suponiendo que el $f$ es continua en a $1$, todavía puede suceder que la derivada en $1$ no existe. Considere la función cóncava $$ f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-(x-2)^2},&\mbox{if }1\leq x\leq 2\\ 1&\mbox{if } 2\leq x\end{casos}. $$ Tenga en cuenta que $f$ es suave en $(1,\infty)$. Observe también que la derivada de $f$ es no acotada.

Sin embargo, el resultado es true si se asume que el $f$ es continua en a $1$. Usted puede evitar el uso de productos derivados de la siguiente manera.

Recordemos que una función es cóncava si y sólo si las siguientes desigualdades mantenga para todos los $x_1<x_2<x_3$ $$ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\geq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}. $$

1) $f$ es no decreciente. Se supone que hay algunos $x_1<x_2$ tal que $f(x_1)>f(x_2)$. Entonces tenemos, por cualquier $x_3>x_2$, $$ f(x_3)\leq \frac{(f(x_2)-f(x_1))(x_3-x_2)}{x_2-x_1}+f(x_2). $$ Mediante la selección de $x_3$ lo suficientemente grande, podemos ver que $f(x_3)<0$, lo cual es una contradicción.

2) $f$ es uniformemente continua en a $[1+\epsilon,\infty]$, para todos los $\epsilon>0$. Para cualquier $1+\epsilon\leq x_2<x_3$, tenemos $$ \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\leq \frac{f(x_3)-f(1)}{x_3-1}\leq \frac{f(1+\epsilon/2)-f(1)}{\epsilon/2}. $$

3) $f$ es uniformemente continua. Esto es claro desde $f$ es continua en a $[1,\infty]$ 2) combinado con el supuesto de continuidad en $1$. Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua en a $[1,3]$. Pero la invocación de 2) de nuevo, $f$ también es uniformemente continua en a $[2,\infty]$.