un buen rato con foliaciones línea paquetes

Question

Estas son probablemente las preguntas triviales... (para expertos)

Me gustaría quedar convencido (tal vez un intuitivo/geométrica explicación será más eficaz que una formal) de los siguientes hechos:

yo. la fibra de $\pi:\mathcal{O}(1)\to\mathbb{P}^n$ $\ell \in \mathbb{P}^n$ es canónicamente isomorfo a $\ell^*.$ El global de coordenadas $z_0,\ldots,z_n$ $\mathbb{C}^{n+1}$ definir natural secciones de $\mathcal{O}(1)$ (aquí se $\mathcal{O}(1)$ denota el doble de la tautológica de la línea de paquete)

ii. a partir de la breve secuencia exacta de holomorphic vector de paquetes $$0 \to E \to F \to G \to 0$$ mostrar que existe un isomorfismo canónico $\det F \simeq \det E \otimes \det G$

Answer 1

yo. Supongo que la forma más fácil de ver que es de la siguiente manera. Vamos a denotar $\mathcal O(-1)$, el tautologial paquete en la $\mathbb P^n$. Usted puede definir como la subvariedad de $\mathbb P^n \times \mathbb C^{n+1}$ compuesto de elementos de la forma $(d,x)$, donde x es un elemento de la línea de $d$.

Más de $\mathbb P^n$ puede considerar que el trivial paquete de la linealidad de las formas más $\mathbb C^{n+1}$. Un holomorphic sección de ese paquete es de curso dado por $f_0\phi_0+...+f_n \phi_n$ donde $f_i$ son holomorphic de las funciones $\mathbb P^n$ que son constantes y $\phi_i$ es sólo la proyección en el i-ésimo componente en $\mathbb C^{n+1}$.

Como $\mathcal O(-1)$ es un subbundle de $\mathbb P^n\times \mathbb C^{n+1}$, el doble de $\mathcal O(-1)$ es un cociente de que trivial bundle, donde la flecha es dada simplemente por la restricción de un (local) de la sección $h_0\phi_0+...+h_n\phi_n$ a la fibra de la tautológica paquete. Esto indica que $a_0\phi_0+...+a_n\phi_n$ darle global secciones de $\mathcal O(1)$. Ahora no demostrar que todas las secciones de $\mathcal O(1)$ surgir de esta manera porque, como usted debe saber, tomando global de las secciones no es un derecho-functor exacto.

Usted puede probar que este es realmente el caso, pero lo que me dijo ya demuestra que usted obtenga un subespacio de secciones de $\mathcal O(1)$ considerando $\mathbb{C} \phi_0+...+\mathbb C\phi_n$, por lo general se acaba de indicar a ellos por $x_i$ en lugar de $\phi_i$.

ii. Sí es verdad, solo una observación, sin embargo, es que usted piensa en el paquete de $E\oplus F$ induce dos evidente exacta de las secuencias y el isomorfismo $\det(E\oplus F)\simeq \det E \otimes \det F$ depende de lo que usted elija y se diferencian por un signo si elige cambiar a$E$$F$.

Es exactamente análogo al hecho de que el determinante de un bloque-diagonal de la matriz es el producto de los determinantes de los bloques.

A nivel local se define solamente por la $(e_1\wedge ...\wedge e_p)\otimes (f_1\wedge ...\wedge f_k)\mapsto e_1\wedge ...\wedge e_p\wedge f_1\wedge ...\wedge f_k$, donde estrictamente hablando, usted debe tomar preimages de la $f_i$'s y comprobar que la definición no depende de esta elección particular.