Sweetie exponencial con un gaussian

Question

Tengo los datos de la medición de un decaimiento exponencial que es complicado por una gaussiana función de la respuesta.

Tengo la medición de la forma de la gaussiana, y desea una expresión analítica para la exponencial post-convolución que puedo usar para comparar los datos.

Necesito calcular el siguiente, pero estoy teniendo problemas.

$g(\tau) = \int_-^\infty \exp(-\lambda t) \exp(-\frac{(t-\tau)^2}{2\sigma^2} ) d \tau$

Donde $\sigma$ es conocido.

$g(\tau) = \int_-^\infty \exp(-\lambda t -\frac{t^2}{2\sigma^2} +\frac{t \tau}{\sigma^2}) \exp(-\frac{\tau^2}{2\sigma^2} ) d \tau$

El último término se parece a la función de Error, pero no estoy seguro de que es él.

Answer 1

Las respuestas son útiles hasta el momento, pero la pregunta original estaba en el camino correcto: no es de hecho una función de error que resultados. La razón es que el integral, que Henry señaló correctamente es sobre t, no $\tau$, es de 0 a $\infty$, y no de$-\infty$$\infty$. Esto lo cambia todo.

En lo que sigue, me tomé la libertad de usar un exponencial y Gaussiana ambos de los cuales son de forma individual normalizado a 1 cuando está integrado a través de su gama completa. Por ejemplo, el original exponencial debe ser multiplicada por un $\lambda$. Del mismo modo, el Gaussiano se divide por $\sigma\sqrt{2\pi}$.

Cuando se trabaja a cabo, se puede ver que la respuesta correcta es, en esta notación, $$ {\lambda\over 2}e^{\sigma^2\lambda^2\over 2}e^{-\lambda\tau} \left(1 - \hbox{fer}\left(\overline \tau\\sigma\sqrt{2}\right)\right) $$ donde $\overline \tau\equiv -(\tau - \sigma^2/\lambda)$.

Es fácil ver que esto le da la respuesta correcta, por ejemplo, tomando el límite en que $\sigma\to 0$. En este límite, el "fer" la función es -1 o +1. [Wikipedia da una buena definición de la erf() con una bonita parcela.] Y, a continuación, recuperar la exponencial, como se debe.

Answer 2

Tenga en cuenta que la identidad algebraica $$\lambda t+\frac{(t-\tau)^2}{2\sigma^2}=\tau\lambda-\frac12\sigma^2\lambda^2+\frac{(t-\tau+\sigma^2\lambda)^2}{2\sigma^2} $$ y el cambio de variable $s=t-\tau+\sigma^2\lambda$ de rendimiento $$ \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\lambda t\right)\,\exp\left(-\frac{(t-\tau)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm dt=\exp\left(-\tau\lambda+\frac12\sigma^2\lambda^2\right)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{s^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm ds, $$ es decir, $$ g(\tau)=\sqrt{2\pi\sigma^2}\cdot\exp\left(-\tau\lambda+\frac12\sigma^2\lambda^2\right). $$ Esto supone que la función de $g$ se define como $$ g(\tau) = \int_{-\infty}^\infty \exp(-\lambda t) \exp\left(-\frac{(t-\tau)^2}{2\sigma^2} \right)\mathrm d t, $$ puesto que la fórmula actual en la pregunta no tiene ningún sentido (subíndice $-$ en la integral, presumiblemente, en lugar de $-\infty$, $\mathrm d\tau$ para integrar una función de $t$, presumiblemente, en lugar de $\mathrm dt$).