Modificaciones functorial de una topología

Question

Deje $S$ ser un conjunto. A continuación, sólo hay dos formas para adjuntar functorialy una topología $\mathcal{T(S)}$: El discreto y el trivial de la topología. Functorial significa en este caso que todos los mapas $f \colon S \to S$ son continuas con respecto a $\mathcal{T}(S)$.

Ahora, vamos a $X$ ser un espacio topológico con la topología $\mathcal{T}(X)$. Lo topologías $\mathcal{T}'(X)$ puede ser conectado a $X$ en un functorial manera, es decir, que todo el continuo de los mapas de $X \to X$ $\mathcal{T}(X)$ son continuas para $\mathcal{T}'(X)$?

De manera más general, ¿cuáles son los endofunctors $\mathcal{Top} \to \mathcal{Top}$ de la categoría de espacios topológicos que fijan el conjunto subyacente de los objetos y morfismos (como los mapas de juegos)? En otras palabras, ¿cuáles son los endofunctors de $\mathcal{Top}$ que son functors sobre el olvidadizo functor $\mathcal{Top} \to \mathcal{Set}$?

Una prueba para la frase: Suponga $\mathcal{T}(S)$ no es la topología trivial. Entonces hay un vacío abierto apropiado subconjunto $U \subset S$. Revisión de dos puntos $x_1 \in U$, $x_2 \in S \setminus U$. Para un conjunto arbitrario $V \subset S$, considerar que la "característica de la función" $f_V$: $$f_V \colon S \to S$$ $$f_V(x) = \begin{cases}x_1 & x \in V \\ x_2 & x \not \in V \end{cases} $$ Debido a que todas las funciones $S \to S$ son continuos, $f_V$ es continua, y $f_V^{-1}(U)=V$ está abierto. Debido a $V$ fue arbitraria, cada subconjunto de $S$ es abierto, es decir, la topología discreta.

Answer 1

Deje $\mathcal C$ ser una clase de espacios. Llamar a un mapa continuo $t:C\to X$ a partir de un espacio de $C\in\mathcal C$ $X$un mapa de prueba. A continuación, podemos equipar a $X$ con la topología final con respecto a todos los de la prueba de mapas a $X$ y llamar a este nuevo espacio de $cX$, por lo que un conjunto de $A$ $cX$ es cerrado si y sólo si $t^{-1}(A)$ es cerrado para cada una de las pruebas map $t$. Tenga en cuenta que la prueba se asigna a $cX$ e los a $X$ son los mismos.

Un espacio de $X$ que ya tiene la topología final para todos sus resultados de mapas se llama una $c$-espacio. Estos $c$-espacios y continua de todos los mapas entre ellos forman una subcategoría $c\mathbf{Top}$$\mathbf{Top}$.

Ahora da un mapa $f$ $c$espacio $X$ a un espacio de $Y$, la misma que subyacen a la función es continua como un mapa de $f': X \to cY$ desde $f't$ es continua para cada una de las pruebas map$t$$X$. De ello se desprende que $c$ se extiende a un functor $\mathbf{Top} \to c\mathbf{Top}$ derecho medico adjunto a la inclusión $c\mathbf{Top} \to \mathbf{Top}$, e $c$ es un functor sobre el olvidadizo functor $U:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$. A continuación, por la composición con la inclusión functor tenemos un functor en $\mathbf{Top}$$U$.

Por ejemplo, uno podría elegir, $\mathcal C$ a ser la clase de todos los espacios compactos, entonces un $c$-el espacio es una forma compacta genera el espacio. Si $\mathcal C$ es la clase de los compactos de Hausdorff espacios, $c$- el espacio es lo que llamamos un $k$-espacio, y estos forman un Cartesiana cerrada categoría (cuando se cambia el producto de la topología en $X\times Y$).

Esto también funciona en la doble forma, mediante el equipamiento de $X$ con la topología inicial con respecto a todo el continuo de los mapas de $X$ a los espacios en la clase $\mathcal C$. En ese caso, tenemos un functor que queda adjunto a la inclusión functor. Una notable elección es $\mathcal C = \{\Bbb R\}$, en cuyo caso obtenemos la categoría de todas totalmente regular espacios.